Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm

Λόγος  εμβαδών από λόγο πλευρών.png
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
\bigstar Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{BC}{AB}=\lambda . Φέρουμε τη διάμεσο AM

και την διχοτόμο BD , οι οποίες τέμνονται στο S . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(BSM)}{(ASD)} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3951
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Απρ 30, 2019 4:41 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png\bigstar Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{BC}{AB}=\lambda . Φέρουμε τη διάμεσο AM

και την διχοτόμο BD , οι οποίες τέμνονται στο S . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(BSM)}{(ASD)} .
…Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle BDC με διατέμνουσα την ASM θα έχουμε: \dfrac{SB}{SD}\cdot \dfrac{AD}{AC}\cdot \dfrac{MC}{BM}=1\Rightarrow \dfrac{SB}{SD}\cdot \dfrac{1}{1+\lambda }=1\Rightarrow \dfrac{SB}{SD}=1+\lambda .

…Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AMC με διατέμνουσα την BSD θα έχουμε: \dfrac{SA}{SM}\cdot \dfrac{BM}{BC}\cdot \dfrac{CD}{DA}=1\Rightarrow \dfrac{SA}{SM}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \lambda =1\Rightarrow \dfrac{SM}{SA}=\dfrac{\lambda }{2}
Έτσι \dfrac{\left( BSM \right)}{\left( ASD \right)}=\dfrac{SB\cdot SM}{SA\cdot SD}=\dfrac{\lambda \cdot \left( \lambda +1 \right)}{2}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6567
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 30, 2019 7:53 pm

Φέρνω από το D παράλληλη στην AM που τέμνει την BC στο K. Θέτω: (SBM) = {N_1}\,\,\,,\,\,\,(SAD) = {N_2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(SAB) = T.

Επειδή η BS διχοτόμος του \vartriangle ABM θα είναι : \dfrac{{{N_1}}}{T} = \dfrac{{BM \cdot BS}}{{BA \cdot BS}} = \dfrac{{BC}}{{2BA}} = \dfrac{\lambda }{2}\,\,(1)
Λόγος εμβαδών απο λόγο πλευρών.png
Λόγος εμβαδών απο λόγο πλευρών.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Επίσης , \dfrac{T}{{{N_2}}} = \dfrac{{BS}}{{SD}} = \dfrac{{BM}}{{MK}} = \dfrac{{MC}}{{MK}} = \dfrac{{CA}}{{DA}} = \dfrac{{CD + DA}}{{DA}} = \dfrac{{CD}}{{DA}} + 1 = \lambda  + 1\,\,(2)

Πολλαπλασιάζω τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) κι έχω: \dfrac{{{N_1}}}{T} \cdot \dfrac{T}{{{N_2}}} = \dfrac{{\lambda (\lambda  + 1)}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{{N_1}}}{{{N_2}}} \cdot  = \dfrac{{\lambda (\lambda  + 1)}}{2}}


Το " αστεράκι" για τον Θανάση τι σημαίνει ;


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 30, 2019 8:00 pm

Κάποιοι λύτες είναι λογικό να αγνοούν τι υποδηλώνει το αστεράκι . Λοιπόν ( ας) σημαίνει :

"Για ένα 24ωρο , γίνονται δεκτές λύσεις μόνο από μαθητές "


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μάιος 01, 2019 12:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png\bigstar Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{BC}{AB}=\lambda . Φέρουμε τη διάμεσο AM

και την διχοτόμο BD , οι οποίες τέμνονται στο S . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(BSM)}{(ASD)} .
Χρόνια πολλά.....

Είναι \displaystyle \frac{{AS}}{{SM}} = \frac{c}{{\frac{a}{2}}} = \frac{2}{\lambda } και \displaystyle \frac{{DS}}{{SB}} = \frac{{\left( {ADM} \right)}}{{\left( {ABM} \right)}} = \frac{{\left( {ADM} \right)}}{{\left( {AMC} \right)}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AD + DC}} = \frac{1}{{1 + \frac{{DC}}{{AD}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{a}{c}}} = \frac{1}{{\lambda  + 1}}

\displaystyle \frac{Y}{X} = \frac{{AS}}{{SM}} \cdot \frac{{DS}}{{SB}} = \frac{2}{{\lambda \left( {\lambda  + 1} \right)}} \Rightarrow \boxed{\frac{X}{Y} = \frac{{\lambda \left( {\lambda  + 1} \right)}}{2}}
Συνημμένα
Λ.E.png
Λ.E.png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1799
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Μάιος 01, 2019 3:30 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 30, 2019 2:04 pm
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png\bigstar Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{BC}{AB}=\lambda . Φέρουμε τη διάμεσο AM

και την διχοτόμο BD , οι οποίες τέμνονται στο S . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(BSM)}{(ASD)} .
Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο AMB,\dfrac{AS}{SM}=\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{2}{\lambda },(1),

(BSM)=(SME),\dfrac{(BSM)}{(ASD)}=\dfrac{(SME)}{(ASD)}=\dfrac{SM.CT}{KD.AS},(2)


Από τα όμοια τρίγωνα ATC,ADK,\dfrac{CT}{KD}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{a+c}{c}=\lambda +1,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{(BSM)}{(ASD)}=\dfrac{\lambda (\lambda +1)}{2}



Γιάννης
Συνημμένα
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png
Λόγος εμβαδών από λόγο πλευρών.png (76.29 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης