Σε ίσους λόγους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Σε ίσους λόγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 29, 2019 3:38 pm

Στον ίδιο λόγο.png
Στον ίδιο λόγο.png (27.38 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές
Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD με κάθετες μεταξύ τους διαγώνιες που τέμνονται στο σημείο S . Αν K,L είναι τα σημεία τομής των εκ του S καθέτων επί τις DC,AB με τις AB,DC αντίστοιχα, να δειχθεί ότι \dfrac{AP}{PC}=\dfrac{BQ}{QD} , όπου P,Q τα σημεία τομής της KL με τις AC,BD αντίστοιχα

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7833
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σε ίσους λόγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 29, 2019 6:07 pm

Είναι προφανείς οι ισοότητες : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,,\,\,\,\widehat x = \widehat y και άρα \widehat z = \widehat w οπότε:

\vartriangle KBS \approx \vartriangle LSC \Rightarrow KB \cdot LC = KS \cdot LS\,\,\,(1).

Από Θ. Μενελάου στα τρίγωνα ASB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CSD\,\, με διατέμνουσες \overline {KPS} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {LQP} έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AP}}{{PS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QB}} \cdot \frac{{BK}}{{KA}} = 1 \hfill \\ 
  \frac{{CP}}{{PS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QD}} \cdot \frac{{DL}}{{LC}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AP}}{{QB}} = \frac{{KA}}{{KB}} \cdot \frac{{SP}}{{SQ}} \hfill \\ 
  \frac{{CP}}{{QD}} = \frac{{PS}}{{QS}} \cdot \frac{{LC}}{{LD}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .
σε ίσους λόγους.png
σε ίσους λόγους.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι τα δεύτερα μέλη των πιο πάνω είναι ίσα δηλαδή :

\dfrac{{KA}}{{KB}} = \dfrac{{LC}}{{LD}} \Leftrightarrow KA \cdot LD = KB \cdot LC\,\,\,(2) .

Αλλά \dfrac{{KA}}{{SL}} = \dfrac{{KS}}{{DL}} \Leftrightarrow KA \cdot DL = KS \cdot LS\,\,\,(3), γιατί \vartriangle KAS \approx \vartriangle LSD

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι τα δεύτερα μέλη των (2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) είναι ίσα

που ισχύει λόγω της (1) και το ζητούμενο αποδείχτηκε .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4848
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σε ίσους λόγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Απρ 30, 2019 9:17 pm

Καλησπέρα σε όλους. Η παρακάτω ισότητα μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν παρακολουθείτε τα πολύ πρόσφατα ίχνη των γεωμετρών μας. (Αρκεί να ξεφυλλίσετε μια δυο σελίδες).


Με τα δεδομένα της αρχικής εκφώνησης του Στάθη, να αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισότητα:

 \displaystyle \frac{{AP \cdot AK}}{{PC \cdot KB}} = \frac{{BQ \cdot CL}}{{QD \cdot LD}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4848
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Σε ίσους λόγους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μάιος 05, 2019 11:58 am

Για να μην μείνει αναπάντητο.

Πολλαπλασίασα απλώς τους λόγους από την άσκηση του Στάθη με τους λόγους από το Λήμμα του Κώστα Βήττα ΕΔΩ.

Απλώς ήθελα να σημειώσω ότι οι εκφωνήσεις των δύο θεμάτων είναι ίδιες και ήθελα έτσι να συνδέσω τα δύο θέματα, φέρνοντας ξανά προσκήνιο τις εξαιρετικές επινοήσεις των Γεωμετρών μας που βρίσκουν διεθνή αναγνώριση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης