Καλησπέρα και χρόνια πολλά.
Δανείζομαι το σχήμα από τον θεματοδότη και ιδέες από τον κ. Λουρίδα.
Η προέκταση του

τέμνει την

στο μέσο της

και τον

στο

. Εχουμε ότι:

. ....
Από τις σχέσεις:
![BQ=QA...,[2],...\angle TQB=\angle AQE BQ=QA...,[2],...\angle TQB=\angle AQE](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ac101f3cca03261cf7025d69415310e1.png)
ως κατακορυφήν προκύπτει ότι:

παραλληλόγραμμο.
Επίσης έχουμε:
![\angle MEC=\angle MAC..[4] \angle MEC=\angle MAC..[4]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/367230b727ac1c8ad7e0ac78fbaecda9.png)
γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Τελικά προσθέτοντας κατά μέλη τις
![[3] [3]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f2577a6fc29b900fe7d4c6321346be48.png)
και
![[4] [4]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e962e23c139e7252904b9221d9967442.png)
παίρνουμε:

ως άθροισμα γωνιών τριγώνου και αποδείχθηκε το ζητούμενο.