Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA229=FB2548.jpg (72 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Οι κύκλοι

τέμνονται στα σημεία A, M

.

Η εφαπτομένη του (O)

στο

, τέμνει τον (K)

στο

, ενώ η εφαπτομένη του (K)

στο

, τέμνει τον (O)

στο

.

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

και η δια του

παράλληλη της

επανα-τέμνει τον (O)

στο

,

δείξτε οτι τα σημεία B, E, C

είναι συνευθειακά.

S.E.Louridas · #2

Για τα χρόνια πολλά στον φίλο Σάκη, αλλά και στον Γιάννη Κοντάκη.

Αν $E' \equiv BC \cap \left( O \right),\;\,T \equiv ME' \cap \left( K \right),$ τότε, $\angle BTE' = \angle BAM = \angle MCA = \angle AE'T \Rightarrow AT\parallel BE'\;\left( 1 \right).$ $\angle ABT = \angle AMT = \angle ACE' = \angle BAE' \Rightarrow BT\parallel AE'\;\,\left( 2 \right).$ Από τις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι το AE’BT

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιες του διχοτομούνται, έστω στο σημείο

Αν

σημείο της ημιευθείας

(

μεταξύ των σημείων B,P’)

, ώστε $AP'\parallel ME',$ τότε, $BM = MP' \Rightarrow P \equiv P' \Rightarrow E \equiv E'.$

Altrian · #3

Καλησπέρα και χρόνια πολλά.

Δανείζομαι το σχήμα από τον θεματοδότη και ιδέες από τον κ. Λουρίδα.
Η προέκταση του

τέμνει την

στο μέσο της

και τον

στο

. Εχουμε ότι:

$\angle AEC=\angle AMC=\angle AOC/2=\dfrac{180-2\angle u}{2}=90-\angle u=\angle BMA$ . .... [1]

$\angle TEA=\angle EMA+\angle EAM=\angle ACE+\angle ECM=\angle ACM=\angle BAM=\angle BTM.....[2]$

Από τις σχέσεις: $BQ=QA...,[2],...\angle TQB=\angle AQE$ ως κατακορυφήν προκύπτει ότι: $\bigtriangleup TBQ=\bigtriangleup AQE\Rightarrow TBEA$ παραλληλόγραμμο.

Επίσης έχουμε: $\angle BEM=\angle BTM+\angle TBE=\angle BAM+\angle TAB+\angle BAE=\angle ACM+\angle TMB+\angle EMA=\angle ACM+\angle BMA=\angle ACM+\angle AMC$ [3]

$\angle MEC=\angle MAC..[4]$ γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Τελικά προσθέτοντας κατά μέλη τις [3]

και

παίρνουμε:

$\angle BEM+\angle MEC=\angle MAC+\angle ACM+\angle AMC=180$ ως άθροισμα γωνιών τριγώνου και αποδείχθηκε το ζητούμενο.

sakis1963 · #4

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του Charme

, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης Jean-Luis Ayme

μαζί με ανάλυση και λύση.

Ο σύνδεσμος για την συλλογή, εδώ: Charme Geomtrique 1
.

: GEOMETRIA229=FB2548Ayme.jpg (105.06 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Re: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Re: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Re: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Μέλη σε σύνδεση