Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA226=FB2977.jpg (58.79 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

Εστω αμφιγράψιμο τετράπλευρο ABCD

και

το συμμετρικό του

ως προς την

.

Αν $Q\equiv DP \cap BC$ και $R\equiv BP \cap DC$ ,

δείξτε ότι, το τετράπλευρο PQCR

, είναι επίσης αμφιγράψιμο.

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2019 7:58 pm
GEOMETRIA226=FB2977.jpg
Εστω αμφιγράψιμο τετράπλευρο και το συμμετρικό του ως προς την .

Αν $Q\equiv DP \cap BC$ και $R\equiv BP \cap DC$ ,

δείξτε ότι, το τετράπλευρο , είναι επίσης αμφιγράψιμο.

Εφόσον $AP\perp BD,AI=IP$

Τότε $\hat{BAP}=\hat{BPA}=\hat{\nu },\hat{DAP}=\hat{DPA}=\hat{\sigma },\hat{BSD}=\hat{\omega }, \hat{A}+\hat{C}=180^{0},\hat{DPR}=\omega =\hat{C}$

Συνεπώς το τετράπλευρο PRCD

είναι εγγράψιμο σε κύκλο

Η λύση συνεχίζεται .....αυριο

Γιάννης

Εστω ότι AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,PR=x,RC=w,QC=y,QP=z

Ισχύει

Θα αποδειχθεί ότι x+y=z+w

. Εστω ότι b>c,a>d,x>z,w>y

Οι ειδικές πριπτώσεις a=d,b=c,x=z,y=w

είναι απλές

Από τα όμοια τρίγωνα $DPR,DQC,\dfrac{x}{y}=\dfrac{d}{c},(1)$

Ακόμη από τα όμοια τρίγωνα $BRC,BPQ,\dfrac{w}{z}=\dfrac{b}{a},(2),$

Από το νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $QRC,QRP,ABD,BDC,\dfrac{y^{2}+w^{2}-x^{2}-z^{2}}{xz+wy}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{bc+ad},(*)$

Θα αποδειχθεί ότι $(x-z)^{2}=(w-y)^{2}\Leftrightarrow w^{2}+y^{2}-x^{2}-z^{2}=2(wy-xz),$

Η τελευταία σχέση λόγω της (*)

διαμορφώνεται $\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{bc+ad}.(xz+wy)=2(wy-xz)$

και λόγω των σχέσεων (1),(2)

$\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}}{bc+ad}=2.\dfrac{bc-ad}{ad+bc}\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}=2bc-2ad\Leftrightarrow (b-c)^{2}=(a-d)^{2}\Leftrightarrow b-c=a-d\Leftrightarrow a+c=b+d$

που ισχύει απο την υπόθεση

Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο

Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο

Re: Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση