Συμμετρικά περίκεντρα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7528
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Συμμετρικά περίκεντρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 24, 2019 4:35 am

Αλλοπρόσαλλη  παραλληλία_1.png
Αλλοπρόσαλλη παραλληλία_1.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Σε τρίγωνο ABC με O το περίκεντρό του, θεωρώ O' το συμμετρικό του O ως προς τη BC.

Γράφω το κύκλο (O',O'B) και υποθέτω ότι τέμνει τις AB,AC στα D,E.

Έστω T το σημείο τομής των BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, είναι δε M το μέσο του AD.

Αν η MC τέμνει το προαναφερθέντα κύκλο στο Z , να δείξετε ότι OZ//O'T.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4047
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συμμετρικά περίκεντρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Απρ 24, 2019 12:00 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 4:35 am
Αλλοπρόσαλλη παραλληλία_1.png

Σε τρίγωνο ABC με O το περίκεντρό του, θεωρώ O' το συμμετρικό του O ως προς τη BC.

Γράφω το κύκλο (O',O'B) και υποθέτω ότι τέμνει τις AB,AC στα D,E.

Έστω T το σημείο τομής των BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC, είναι δε M το μέσο του AD.

Αν η MC τέμνει το προαναφερθέντα κύκλο στο Z , να δείξετε ότι OZ//O'T.
Από την προφανή ισότητα των κύκλων \left( O \right),\left( O' \right) προκύπτει ότι το τρίγωνο \vartriangle ACD είναι ισοσκελές \left( CA=CD \right) και με M το μέσο της AD\Rightarrow CM\bot AB οπότε το μέσο της BC, N\equiv BC\cap OO' είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ορθογωνίου στο M τριγώνου \vartriangle BMN

Αν θεωρήσεις ως δεδομένο την πρόταση αυτή τότε προκύπτει άμεσα το ζητούμενο αφού OZ\bot AS,S\equiv DE\cap BC και {O}'T\bot AS (από την πολική AS του T ως προς τον \left( O' \right)

Αν το θέμα θέλουμε να είναι ανεξάρτητο της παραπάνω παραπομπής και να χρησιμοποιηθεί ως λήμμα για την απόδειξη αυτής, τότε από την πρόταση εκείνη (που «ζωγράφισε» ο Μίνος (θα μπορούσε βέβαια και ευκολότερα να αποδειχθεί μέσω της ιδιαιτερότητας του σημείου Miquel ), από την συνευθειακότητα {A}',{O}',T (O{O}',{O}'T κάθετες στην πολική του T ως προς τον \left( {{O}'} \right) ) σε συνδυασμό με το παραλληλόγραμμο OZ{O}'{A}' (οι διαγώνιές του διχοτομούνται) προκύπτει άμεσα OZ\parallel {O}'T

Διαλέγεις και παίρνεις Νίκο και καλό Πάσχα. (Με φειδώ το αρνί (έχει χοληστερίνη :( ))

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες