Ισοσκελές σε ισόπλευρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11207
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοσκελές σε ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 23, 2019 8:45 pm

ισοσκελές  σε ισόπλευρο.png
ισοσκελές σε ισόπλευρο.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Προεκτείνω την πλευρά AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά τμήμα CS=x .

Στην προέκταση της SB θεωρώ σημείο T , τέτοιο ώστε : AT=AS . Δημιουργήστε

συνάρτηση η οποία να υπολογίζει τον λόγο \dfrac{(ATB)}{(BCS)} και βρείτε το μέγιστο αυτού του λόγου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8793
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές σε ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 25, 2019 8:36 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 23, 2019 8:45 pm
ισοσκελές σε ισόπλευρο.pngΠροεκτείνω την πλευρά AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά τμήμα CS=x .

Στην προέκταση της SB θεωρώ σημείο T , τέτοιο ώστε : AT=AS . Δημιουργήστε

συνάρτηση η οποία να υπολογίζει τον λόγο \dfrac{(ATB)}{(BCS)} και βρείτε το μέγιστο αυτού του λόγου .
\displaystyle \frac{{(ATB)}}{{(BCS)}} = \frac{{(a + x)(BT)}}{{x(BS)}}
Ισοσκελές σε ισόπλευρο.png
Ισοσκελές σε ισόπλευρο.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Με δύο φορές νόμο συνημιτόνων στο BCS βρίσκω BS^2=x^2+ax+a^2 και \displaystyle \cos \theta  = \frac{{2x + a}}{{2\sqrt {{x^2} + ax + {a^2}} }}

Στη συνέχεια με νόμο συνημιτόνων και πάλι στο ATS παίρνω \displaystyle TS = 2(a + x)\cos \theta  = \frac{{(a + x)(2x + a)}}{{\sqrt {{x^2} + ax + {a^2}} }}

Άρα, \displaystyle BT = TS - BS = \frac{{x(x + 2a)}}{{\sqrt {{x^2} + ax + {a^2}} }}, οπότε \boxed{ f(x) = \frac{{(ATB)}}{{(BCS)}} = \frac{{{x^2} + 3ax + 2{a^2}}}{{{x^2} + ax + {a^2}}}}

Τώρα με την τεχνική της διακρίνουσας βρίσκουμε \boxed{ {f_{\max }} = 1 + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} για \boxed{ x = \frac{a}{2}\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης