Ισόπλευρο χωρίς αιτία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 18, 2019 7:11 pm

Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σημείο C του AB είναι τέτοιο ώστε : BC = 2CA.

Η κάθετη στο C επί την AB τέμνει το ημικύκλιο στο D.

Σχηματίζω το ορθογώνιο BCDE και έστω K το σημείο τομής των BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE.

Αν ο κύκλος (K,KD) τέμνει την AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M , δείξετε ότι το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο .



Μπορεί να τεθεί και στο φάκελο Β λυκείου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Απρ 18, 2019 7:56 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2019 7:11 pm
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σημείο C του AB είναι τέτοιο ώστε : BC = 2CA.

Η κάθετη στο C επί την AB τέμνει το ημικύκλιο στο D.

Σχηματίζω το ορθογώνιο BCDE και έστω K το σημείο τομής των BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE.

Αν ο κύκλος (K,KD) τέμνει την AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M , δείξετε ότι το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο .



Μπορεί να τεθεί και στο φάκελο Β λυκείου .
Ε , όχι και χωρίς αιτία Νίκο . Ειναι βέβαιο ότι πρέπει να μπει στο φάκελο της Β λυκείου . Εύκολακι 😉


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Απρ 18, 2019 11:29 pm

Νίκο και Στάθη καλησπέρα.Μια λογιστική προσέγγιση.
Ισόπλευρο..Ν.Φ.PNG
Ισόπλευρο..Ν.Φ.PNG (11.81 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
Είναι KM=KL=KD ως ακτίνες.Φέρω KH \perp LM.Έστω , χωρίς βλάβη AC=1 . Τότε DE=BC=2..AB=3

και στο ορθ. ADB : DC^{2}=AC\cdot  BC\Rightarrow DC=\sqrt{2} ενώ με Π.Θ BD=\sqrt{6}.

Από τα όμοια BAK,DEK παίρνουμε \dfrac{DK}{KB}=\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KD=\dfrac{2}{5}BD=\dfrac{2\sqrt{6}}{5} και KH=\dfrac{3}{5}DC=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}

οπότε \eta \mu \omega =\dfrac{KH}{KL}=..=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \omega =60^{0} άρα το ισοσκελές KLM είναι ισόπλευρο. Φιλικά , Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8510
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 19, 2019 1:48 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2019 7:11 pm
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σημείο C του AB είναι τέτοιο ώστε : BC = 2CA.

Η κάθετη στο C επί την AB τέμνει το ημικύκλιο στο D.

Σχηματίζω το ορθογώνιο BCDE και έστω K το σημείο τομής των BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE.

Αν ο κύκλος (K,KD) τέμνει την AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M , δείξετε ότι το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο .



Μπορεί να τεθεί και στο φάκελο Β λυκείου .

Με τη σημερινή υποβάθμιση της Γεωμετρίας στα σχολεία, αν έμπαινε σε εξετάσεις Β' Λυκείου, είναι σίγουρο ότι θα θρηνούσαμε

θύματα. Πάντως, είναι πολύ πιο δύσκολη από τα φετινά θέματα του Ευκλείδη αλλά και του Αρχιμήδη. (Θα επανέλθω με τη λύση μου).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8510
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 19, 2019 6:56 pm

Χαιρετώ τους φίλους!

Έστω R η ακτίνα του ημικυκλίου και r η ακτίνα του κύκλου. Έστω ακόμη KH το ύψος του τριγώνου KLM και

Z το σημείο τομής των AE, DC. Είναι, \displaystyle B{D^2} = BC \cdot BA = \frac{{4R}}{3} \cdot 2R \Leftrightarrow \boxed{BD = \frac{{2R\sqrt 6 }}{3}} (1)
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png (23.78 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
\displaystyle 2 = \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{DZ}}{{ZC}} \Leftrightarrow \frac{2}{3} = \frac{{DZ}}{{DC}} = \frac{{DZ}}{{EB}} = \frac{{DK}}{{KB}} \Leftrightarrow KB = \frac{{3r}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{5r}}{2} = \frac{{2R\sqrt 6 }}{3} \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{{5r\sqrt 6 }}{8}} (2)

\displaystyle \frac{{KH}}{{DC}} = \frac{{BK}}{{BD}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow KH = \frac{3}{5}\sqrt {AC \cdot CB}  = \frac{{2R\sqrt 2 }}{5}\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} KH = \frac{{r\sqrt 3 }}{2} που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 20, 2019 7:05 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2019 7:11 pm
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σημείο C του AB είναι τέτοιο ώστε : BC = 2CA.

Η κάθετη στο C επί την AB τέμνει το ημικύκλιο στο D.

Σχηματίζω το ορθογώνιο BCDE και έστω K το σημείο τομής των BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE.

Αν ο κύκλος (K,KD) τέμνει την AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M , δείξετε ότι το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο .



Μπορεί να τεθεί και στο φάκελο Β λυκείου .

\displaystyle \frac{{BK}}{\rho } = \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \boxed{BK = \frac{{3\rho }}{2}}

\displaystyle {\sin ^2}\omega  = \frac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{AC \cdot AB}}{{A{B^2}}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow K{Q^2} = \frac{1}{3}B{K^2} = \frac{{3{\rho ^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{KQ = \frac{{\rho \sqrt 3 }}{2}}

Άρα το ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle KLM θα είναι ισόπλευρο
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Σάβ Απρ 20, 2019 11:49 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Απρ 18, 2019 7:11 pm
Ισόπλευρο χωρίς αιτία.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σημείο C του AB είναι τέτοιο ώστε : BC = 2CA.

Η κάθετη στο C επί την AB τέμνει το ημικύκλιο στο D.

Σχηματίζω το ορθογώνιο BCDE και έστω K το σημείο τομής των BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE.

Αν ο κύκλος (K,KD) τέμνει την AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M , δείξετε ότι το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο .



Μπορεί να τεθεί και στο φάκελο Β λυκείου .
draw1.png
draw1.png (32.38 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
..καλησπέρα..

εστω AB=1 , με \displaystyle AC=\frac{1}{3},CB=\frac{2}{3}. Επειδή AB διάμετρος του ημικυκλίου έχουμε:\bigtriangleup ADB:\widehat{D=90^{\circ}}\Rightarrow AD^{2}=AC\cdot AB\Rightarrow AD=\frac{1}{\sqrt{3}}

καθώς και όμοια \displaystyle DB=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. Από την ομοιότητα \displaystyle\bigtriangleup AHC\approx \bigtriangleup DHE\Rightarrow \frac{AC}{DE}=\frac{1}{2}= \frac{HC}{DH}.

Με διατέμνουσα την A,H,K στο \displaystyle\bigtriangleup ACB\Rightarrow \frac{AB}{AC}\cdot \frac{HC}{HB}\frac{KD}{KB}=1\Rightarrow ......\Rightarrow \frac{KD}{KB}=\frac{2}{3}\Rightarrow ...KB=\frac{\sqrt{6}}{5} και \displaystyle KD=BD-KB\Rightarrow ....\Rightarrow KD=\frac{2\cdot \sqrt{6}}{15}=KM με \displaystyle \eta \mu \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow ...\Rightarrow \eta \mu \widehat{ABD}=\frac{1}{\sqrt{3}}

Από ν. ημιτόνου στο \displaystyle \bigtriangleup KMB\Rightarrow \frac{KM}{\eta \mu \widehat{KBM}}=\frac{KB}{\eta \mu \widehat{KMB}}\Rightarrow ....\Rightarrow \eta \mu \widehat{KMB}=\frac{\sqrt{3}}{2}με{\widehat{KMB}+\widehat{KML}=180^{\circ}}

οποτε \displaystyle\eta \mu \widehat{KML}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{KML}=60^{\circ}.Κατά συνέπεια αφού \displaystyle KM=KL\Rightarrow \widehat{KLM}=\widehat{KML}=60^{\circ}\Rightarrow \bigtriangleup KLM ισόπλευρο.-


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: STOPJOHN και 2 επισκέπτες