Τετράγωνα και λόγοι

KARKAR · #1

: Τετράγωνοι λόγοι.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

$\bigstar$ Τα τετράπλευρα ABCD , BEZH

είναι τετράγωνα με πλευρές a , b

αντίστοιχα .

Η προέκταση της

τέμνει την

στο

. α) Δείξτε ότι τα σημεία D,M,Z

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{DM}{MZ} , \dfrac{HM}{ME}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 9:06 pm
Τετράγωνοι λόγοι.png $\bigstar$ Τα τετράπλευρα είναι τετράγωνα με πλευρές αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την στο . α) Δείξτε ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{DM}{MZ} , \dfrac{HM}{ME}$ .

Καλησπέρα !
α)
Θέτω A(0,0)

ως αρχή αξόνων.

Η εξίσωση της ευθείας

είναι της μορφής y=px+q

.

Για τα σημεία M,Z

έχουμε
$\left\{\begin{matrix} & \dfrac{a+b}{2}=p\cdot \dfrac{a+b}{2}+q & \\ \\, & b=p\cdot \left ( a+b \right )+q & \end{matrix}\right.\Rightarrow p\cdot \dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b-a}{b+a}\Rightarrow q=a$

Άρα η

περνά από το

.
β)

$\dfrac{MD}{MD+MZ}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}}{a+b}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow MD=MZ\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{MD}{MZ}=1}$

$\dfrac{HM}{ME}=\dfrac{b\sqrt{2}-\dfrac{a+b}{2}\cdot \sqrt{2}}{\dfrac{a+b}{2}\sqrt{2}}=\Leftrightarrow \boxed{\dfrac{HM}{ME}=\dfrac{b-a}{b+a}}$

sakis1963 · #3

: Τετράγωνα και λόγοι.jpg (52.87 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

#4

Είναι προφανές ότι τα τρίγωνα $MAE,\,\,MHC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAC$ είναι ισοσκελή και ορθογώνια.

Θέτω HC = u = b - a

. Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τη διαγώνιο

στο

Το τετράπλευρο ABNM

είναι παραλληλόγραμμο ενώ το HMNZ

ισοσκελές τραπέζιο .

Τα τρίγωνα $MNZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCM$ έχουν:

$NZ = MH = MC\,\,\,,\,\,MN = AB = DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ZNM} = \widehat {MCD} = 135^\circ$ , άρα είναι ίσα

Έτσι θα έχουν : DM=MZ

(1)

και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες κι αφού $\widehat \theta + \widehat \omega = 45^\circ \,$ η γωνία :

: τετράγωνα και λόγοι.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

$\widehat {DMZ} = \widehat \theta + 135^\circ + \widehat \omega = 180^\circ$ οπότε τα σημεία D,M,Z

ορίζουν μια ευθεία.

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{DC}}{{CM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{u\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{u} = \dfrac{{2a}}{{b - a}} \hfill \\ \dfrac{{HM}}{{ME}} = \dfrac{{u\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{(a + b)\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{u}{{b + a}} = \dfrac{{b - a}}{{b + a}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Βρήκα κι ένα λόγο παραπάνω!!!

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 9:06 pm
Τετράγωνοι λόγοι.png $\bigstar$ Τα τετράπλευρα είναι τετράγωνα με πλευρές αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την στο . α) Δείξτε ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{DM}{MZ} , \dfrac{HM}{ME}$ .

Η

τέμνει την

στο

: Τετράγωνα και λόγοι.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

α) Το

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε DN||=HZ.

Άρα το

είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή

το

είναι μέσο του HN,

θα είναι μέσο και του DZ.

Επομένως τα D,M,Z

είναι συνευθειακά.

β) $\boxed{DM=MZ}$ (άμεσο από πριν). $\displaystyle \frac{{HM}}{{ME}} = \frac{{HM}}{{HE - HM}} = \frac{{\frac{{(b - a)\sqrt 2 }}{2}}}{{b\sqrt 2 - \frac{{(b - a)\sqrt 2 }}{2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{HM}}{{ME}} = \frac{{b - a}}{{b + a}}}$

thanasis.a · #6

$\displaystyleAM=MI\Rightarrow \bigtriangleup DMA=\bigtriangleup IMZ\Rightarrow \widehat{DMA}=\widehat{IMZ}\Rightarrow D,M,I$

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2019 9:06 pm
Τετράγωνοι λόγοι.png $\bigstar$ Τα τετράπλευρα είναι τετράγωνα με πλευρές αντίστοιχα .

Η προέκταση της τέμνει την στο . α) Δείξτε ότι τα σημεία

είναι συνευθειακά . β) Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{DM}{MZ} , \dfrac{HM}{ME}$ .

: draw1.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

..καλησπέρα..

για το ερώτημα α)

Έστω $I\equiv EZ\cap AC$ . Έχουμε: $\displaystyle AD=a,\,\,\,\,BE=b,\,\,\,CH=b-a,\,\,\,\widehat{HCP}=45^{\circ}\Rightarrow HP=b-a\Rightarrow PZ=HZ-HP=a.$

Αφού $\displaystyle AD\parallel EI\Rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{PIZ}= 45^{\circ}\Rightarrow PZ=IZ=a.$ Επίσης $\displaystyle AE=EI=a+b\wedge \widehat{IAE}=\widehat{AIE}=45^{\circ}$

και αφού $\displaystyle\widehat{MAE}=\widehat{MEA}=45^{\circ}\Rightarrow ME\perp AI\Rightarrow AM=MI\Rightarrow \bigtriangleup DMA=\bigtriangleup MIZ\Rightarrow \widehat{DMA}=\widehat{IMZ}$

κατά συνέπεια τα D,M,Z

είναι συνευθειακά.-

για το ερώτημα β) ΄οπως έχει απαντηθεί

Τετράγωνα και λόγοι

Τετράγωνα και λόγοι

Re: Τετράγωνα και λόγοι

Re: Τετράγωνα και λόγοι

Re: Τετράγωνα και λόγοι

Re: Τετράγωνα και λόγοι

Re: Τετράγωνα και λόγοι

Μέλη σε σύνδεση