Περίκυκλος και επίκυκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10947
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίκυκλος και επίκυκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 12, 2019 9:17 am

Περίκυκλος  και επίκυκλος.png
Περίκυκλος και επίκυκλος.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , η μεσοκάθετη της πλευράς BC και η εξωτερική διχοτόμος της \hat{A} ,

τέμνονται στο σημείο K . α) Δείξτε ότι το K ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου .

β) Αν ο κύκλος (K,KA) τέμνει την AC στο σημείο S , δείξτε ότι : CS=AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8510
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίκυκλος και επίκυκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 12, 2019 10:42 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2019 9:17 am
Περίκυκλος και επίκυκλος.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η μεσοκάθετη της πλευράς BC και η εξωτερική διχοτόμος της \hat{A} ,

τέμνονται στο σημείο K . α) Δείξτε ότι το K ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου .

β) Αν ο κύκλος (K,KA) τέμνει την AC στο σημείο S , δείξτε ότι : CS=AB .

α) Η εσωτερική διχοτόμος της \hat{A} και η μεσοκάθετη της BC τέμνονται πάνω στον κύκλο στο E. Επειδή

η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος είναι κάθετες, προφανώς η EK είναι διάμετρος του περίκυκλου.
Περίκυκλος και επίκυκλος.png
Περίκυκλος και επίκυκλος.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
β) Έστω D το δεύτερο κοινό σημείο των δύο κύκλων. Το ABCD είναι (λόγω συμμετρίας) ισοσκελές τραπέζιο και

AB=DC. Είναι ακόμα KS=KD, η CK διχοτομεί τη γωνία D\widehat CS, οι γωνίες K\widehat SC, K\widehat DC είναι αμβλείες,

άρα το KSCD είναι χαρταετός και \boxed{CS=CD=AB}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6784
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περίκυκλος και επίκυκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 12, 2019 10:45 am

α) Από το Θ. νότιου και βόρειου πόλου ο κύκλος (A,B,C) διέρχεται από τα μέσα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K των δύο τόξων ( μικρού και μεγάλου ) BC.

Από τα σημεία αυτά προφανώς διέρχονται οι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας \widehat {BAC}.

περίκυκλος κι επίκυκλος.png
περίκυκλος κι επίκυκλος.png (26.95 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
β) Τα τρίγωνα KAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KSC είναι ίσα γιατί έχουν προφανώς KA = KS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KB = KC .

Επί πλέον επειδή λόγω της εξωτερικής διχοτόμου της \widehat {BAC} και του ισοσκελούς τριγώνου KAS θα είναι \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow \widehat {BAK} = \widehat {CSK}.

Από την ισότητα λοιπόν των τριγώνων : KAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KSC έχω : AB = SC

Με πρόλαβε ο αγαπητός Γιώργος .


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Περίκυκλος και επίκυκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Παρ Απρ 12, 2019 11:41 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2019 9:17 am
Περίκυκλος και επίκυκλος.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , η μεσοκάθετη της πλευράς BC και η εξωτερική διχοτόμος της \hat{A} ,

τέμνονται στο σημείο K . α) Δείξτε ότι το K ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου .

β) Αν ο κύκλος (K,KA) τέμνει την AC στο σημείο S , δείξτε ότι : CS=AB .
draw1.png
draw1.png (39.32 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
..καλησπέρα..

α) απο το K φέρνουμε \displaystyle KE\perp AB,\,\,\,\,KF\perp AC.Επειδή AK εξωτερική διχοτόμος εχουμε: KE=KF. Οπότε: \bigtriangleup KEB=\bigtriangleup KFC\,\,\,\,(KB=KC,\,\,\,\widehat{E}=\widehat{F}=90^{\circ},\,\,\,\,KE=KF)\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{KCS}\Rightarrow AKCB εγγράψιμο.

για το β) όπως προτείνει ο Νίκος.

Αν και τώρα βλέπω, ότι αν από την αρχή φτιαξουμε τον κύκλο (K,KA) από την ισότητα των τριγώνων AKB, KSC αποδεικνύονται απευθείας και το α) και το β) ερώτημα.-


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot], KARKAR, STOPJOHN και 2 επισκέπτες