Διαδοχικοί λόγοι

KARKAR · #1

: Διαδοχικοί λόγοι.png (6.38 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Τα σημεία M , N , L

είναι τα μέσα , της υποτείνουσας

και των κάθετων πλευρών AB , AC

,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Από το

φέρουμε κάθετη προς την

,

η οποία τέμνει την

στο σημείο

, την

στο σημείο

και την

στο σημείο

.

Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία είναι τα μέσα , της υποτείνουσας και των κάθετων πλευρών ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Από το φέρουμε κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την στο σημείο , την στο σημείο και την στο σημείο .

Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}$

Έστω

: Διαδοχικοί λόγοι.png (7.72 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Το

είναι τετράγωνο, $LK\bot MS,$ το

είναι μέσο του

(οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου

LMBN

διχοτομούνται), άρα

είναι το μέσο του AN,

οπότε $AS=SN=\dfrac{b}{4}.$

$\displaystyle \frac{{LP}}{{PB}} = \frac{{LM}}{{SB}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{{\frac{b}{2} + \frac{b}{4}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{LP}{PB}=\frac{2}{3}}$ , $\displaystyle \frac{{LT}}{{TN}} = \frac{{LM}}{{SN}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{{\frac{b}{4}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{LT}{TN}=2}$ και $\boxed{\frac{AS}{SB}=\frac{1}{3}}$

thanasis.a · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία είναι τα μέσα , της υποτείνουσας και των κάθετων πλευρών ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Από το φέρουμε κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την στο σημείο , την στο σημείο και την στο σημείο .

Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}$

: DRAW0.png (19.95 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

..καλό μεσημέρι..

έστω BC=4

και $\displaystyle AC=AB=2\sqrt{2}$ . Έχουμε $\displaystyle LM\parallel =\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$ . Επίσης αφού $\displaystyle AH\perp AB\wedge \,\,\,HP\perp LB\Rightarrow \widehat{LHP}=\widehat{ABL}$

Από Π.Θ. στο $\displaystyle \bigtriangleup ALB\Rightarrow LB=\sqrt{10}$

Έτσι εχουμε: $\displaystyle \bigtriangleup ABL=\bigtriangleup HLM\Rightarrow LB=HM=\sqrt{10}\wedge LH=AB=2\sqrt{2}$ .

Κατά συνέπεια στο $\displaystyle \bigtriangleup LMH: AH=2\sqrt{2}-LA=\sqrt{2}\Rightarrow LA=AH\wedge AS\parallel LM\Rightarrow AS= \frac{LM}{2}\Rightarrow \boxed{AS=\sqrt{2}},\,\,(1)$ οπότε $\displaystyle SB=AB-SA\Rightarrow ..\boxed{SB=3\sqrt{2}\,\,\,(2)}$

Ταυτόχρονα στο ιδιο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: $\displaystyle LP\cdot MH=LM\cdot LH\Rightarrow .....\boxed{LP=2\cdot \frac{\sqrt{10}}{5}}\,\,\,(3)$ οπότε $\displaystyle PB=LB-LP\Rightarrow ....\boxed{PB=3\cdot \frac{\sqrt{10}}{5}\,\,\,(4)}$

Από το (2) έχουμε: $\displaystyle SN=AN-AS\Rightarrow ....\boxed{SN=\sqrt{2}}\,\,\,(5)$

Στο τρίγωνο ALN

με διατέμνουσα την HST

έχουμε: $\displaystyle \frac{HL}{HA}\cdot \frac{SA}{SN}\cdot \frac{TN}{TL}=1\Rightarrow ....\boxed{\frac{TL}{TN}=2}$

Τέλος απο τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) έχουμε: $\displaystyle \boxed{\frac{AS}{SB}=\frac{1}{3}}$ και $\displaystyle \boxed{\frac{LP}{PB}=\frac{2}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία είναι τα μέσα , της υποτείνουσας και των κάθετων πλευρών ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Από το φέρουμε κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την στο σημείο , την στο σημείο και την στο σημείο .

Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}$

Το $\displaystyle LMNA$ είναι τετράγωνο

Από το εγγράψιμο $\displaystyle NPMB$ $\displaystyle \Rightarrow \angle DPN = {45^0} = \angle ALN \Rightarrow LPND$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow LN \bot ND \Rightarrow LA = AD$

Έτσι, $\displaystyle S$ μέσον της $\displaystyle AN \Rightarrow SB = \frac{3}{2}NB = \frac{3}{2}LM \Rightarrow \boxed{\frac{{LM}}{{SB}} = \frac{{LP}}{{PB}} = \frac{2}{3}}$

Ακόμη, $\displaystyle \boxed{\frac{{LT}}{{TN}} = \frac{{LM}}{{SN}} = 2}$ και $\displaystyle \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{1}{3}}$

: διαδοχικοί λόγοι.png (20.02 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Διαδοχικοί λόγοι

Διαδοχικοί λόγοι

Re: Διαδοχικοί λόγοι

Re: Διαδοχικοί λόγοι

Re: Διαδοχικοί λόγοι

Μέλη σε σύνδεση