Διαδοχικοί λόγοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10934
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαδοχικοί λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am

Διαδοχικοί  λόγοι.png
Διαδοχικοί λόγοι.png (6.38 KiB) Προβλήθηκε 246 φορές
Τα σημεία M , N , L είναι τα μέσα , της υποτείνουσας BC και των κάθετων πλευρών AB , AC ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC . Από το M φέρουμε κάθετη προς την BL ,

η οποία τέμνει την BL στο σημείο P , την NL στο σημείο T και την AB στο σημείο S .

Υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διαδοχικοί λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 31, 2019 10:15 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία M , N , L είναι τα μέσα , της υποτείνουσας BC και των κάθετων πλευρών AB , AC ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC . Από το M φέρουμε κάθετη προς την BL ,

η οποία τέμνει την BL στο σημείο P , την NL στο σημείο T και την AB στο σημείο S .

Υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}
Έστω AB=AC=b, BC=a.
Διαδοχικοί λόγοι.png
Διαδοχικοί λόγοι.png (7.72 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Το LMNA είναι τετράγωνο, LK\bot MS, το K είναι μέσο του MN (οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου

LMBN διχοτομούνται), άρα S είναι το μέσο του AN, οπότε AS=SN=\dfrac{b}{4}.

\displaystyle \frac{{LP}}{{PB}} = \frac{{LM}}{{SB}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{{\frac{b}{2} + \frac{b}{4}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{LP}{PB}=\frac{2}{3}} , \displaystyle \frac{{LT}}{{TN}} = \frac{{LM}}{{SN}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{{\frac{b}{4}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{LT}{TN}=2} και \boxed{\frac{AS}{SB}=\frac{1}{3}}


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Διαδοχικοί λόγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Κυρ Μαρ 31, 2019 3:48 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία M , N , L είναι τα μέσα , της υποτείνουσας BC και των κάθετων πλευρών AB , AC ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC . Από το M φέρουμε κάθετη προς την BL ,

η οποία τέμνει την BL στο σημείο P , την NL στο σημείο T και την AB στο σημείο S .

Υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}
DRAW0.png
DRAW0.png (19.95 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
..καλό μεσημέρι..

έστω BC=4 και \displaystyle AC=AB=2\sqrt{2}. Έχουμε \displaystyle LM\parallel =\frac{AB}{2}=\sqrt{2}. Επίσης αφού\displaystyle AH\perp AB\wedge \,\,\,HP\perp LB\Rightarrow \widehat{LHP}=\widehat{ABL}

Από Π.Θ. στο \displaystyle \bigtriangleup ALB\Rightarrow LB=\sqrt{10}

Έτσι εχουμε: \displaystyle \bigtriangleup ABL=\bigtriangleup HLM\Rightarrow LB=HM=\sqrt{10}\wedge LH=AB=2\sqrt{2}.

Κατά συνέπεια στο \displaystyle \bigtriangleup LMH: AH=2\sqrt{2}-LA=\sqrt{2}\Rightarrow LA=AH\wedge AS\parallel LM\Rightarrow AS= \frac{LM}{2}\Rightarrow \boxed{AS=\sqrt{2}},\,\,(1) οπότε \displaystyle SB=AB-SA\Rightarrow ..\boxed{SB=3\sqrt{2}\,\,\,(2)}

Ταυτόχρονα στο ιδιο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: \displaystyle LP\cdot MH=LM\cdot LH\Rightarrow .....\boxed{LP=2\cdot \frac{\sqrt{10}}{5}}\,\,\,(3)οπότε \displaystyle PB=LB-LP\Rightarrow ....\boxed{PB=3\cdot \frac{\sqrt{10}}{5}\,\,\,(4)}

Από το (2) έχουμε: \displaystyle SN=AN-AS\Rightarrow ....\boxed{SN=\sqrt{2}}\,\,\,(5)

Στο τρίγωνο ALN με διατέμνουσα την HST έχουμε: \displaystyle \frac{HL}{HA}\cdot \frac{SA}{SN}\cdot \frac{TN}{TL}=1\Rightarrow ....\boxed{\frac{TL}{TN}=2}

Τέλος απο τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) έχουμε: \displaystyle \boxed{\frac{AS}{SB}=\frac{1}{3}} και \displaystyle \boxed{\frac{LP}{PB}=\frac{2}{3}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διαδοχικοί λόγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 31, 2019 6:51 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 9:16 am
Διαδοχικοί λόγοι.pngΤα σημεία M , N , L είναι τα μέσα , της υποτείνουσας BC και των κάθετων πλευρών AB , AC ,

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC . Από το M φέρουμε κάθετη προς την BL ,

η οποία τέμνει την BL στο σημείο P , την NL στο σημείο T και την AB στο σημείο S .

Υπολογίστε τους λόγους : \dfrac{LP}{PB} , \dfrac{LT}{TN} , \dfrac{AS}{SB}

Το \displaystyle LMNA είναι τετράγωνο

Από το εγγράψιμο \displaystyle NPMB\displaystyle  \Rightarrow \angle DPN = {45^0} = \angle ALN \Rightarrow LPND εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow LN \bot ND \Rightarrow LA = AD

Έτσι,\displaystyle S μέσον της \displaystyle AN \Rightarrow SB = \frac{3}{2}NB = \frac{3}{2}LM \Rightarrow \boxed{\frac{{LM}}{{SB}} = \frac{{LP}}{{PB}} = \frac{2}{3}}

Ακόμη,\displaystyle \boxed{\frac{{LT}}{{TN}} = \frac{{LM}}{{SN}} = 2} και \displaystyle \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{1}{3}}
διαδοχικοί λόγοι.png
διαδοχικοί λόγοι.png (20.02 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες