Τμήμα και γωνία

KARKAR · #1

: Τμήμα και γωνία.png (7.31 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

Σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AC}$ , ακτίνας

, φέρουμε την εφαπτομένη στο

, επί της

οποίας θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο

του τμήματος

, υπολογίστε το τμήμα

και την γωνία $\hat{B}=\omega$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AC}$ , ακτίνας , φέρουμε την εφαπτομένη στο , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο , ώστε : . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο του τμήματος , υπολογίστε το τμήμα και την γωνία $\hat{B}=\omega$

Φέρνω

και έστω

: Τμήμα και γωνία.Κ.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

$\displaystyle {x^2} = BM \cdot BA = 2{y^2}$ και με Π. Θ στο OCE,

είναι $\displaystyle 4{y^2} = {r^2} + {(r - x)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2rx - 2{r^2} = 0$

Άρα $\boxed{x=(\sqrt 3-1)r}$ και $\displaystyle cot\varphi = \frac{{r - x}}{r} = 2 - \sqrt 3 = \tan 15^\circ \Leftrightarrow \varphi = 75^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\omega=105^\circ}$

#3

Κατασκευή

Αν

το αντιδιαμετρικό του

ο κύκλος

τέμνει τη, εφαπτομένη στο

, ευθεία στο σημείο

.

Ας είναι $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ οι προβολές των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ στις $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CO$ . Θέτω: MA = MB = y

.

Θα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} B{C^2} = BM \cdot BA \hfill \\ \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{BP}} \hfill \\ K{M^2} = O{M^2} - O{K^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = 2{y^2} \hfill \\ \frac{{2r}}{{2y}} = \frac{y}{{r - x}} \hfill \\ KM = \sqrt {{r^2} - \frac{{{r^2}}}{4}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = r(\sqrt 3 - 1) \hfill \\ KM = \frac{{r\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Τμήμα και γωνία.png (26.53 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

Συνεπώς $\boxed{KM = \frac{1}{2}{\lambda _3}}$ οπότε το τρίγωνο OCM

είναι ισόπλευρο ,

$\boxed{\widehat {CME} = \frac{1}{2}\widehat {COE} = 45^\circ \Rightarrow \widehat \omega = 105^\circ }$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AC}$ , ακτίνας , φέρουμε την εφαπτομένη στο , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο , ώστε : . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο του τμήματος , υπολογίστε το τμήμα και την γωνία $\hat{B}=\omega$

Στο τρίγωνο $OCM,MT//OA,OT=\dfrac{OM}{2},\hat{TMO}=30^{0}=\hat{TMC}$

Οπότε το τρίγωνο OCM

είναι ισόπλευρο

Από την ισότητα των τριγώνων CBM,AMJ, CM=MJ=r

Ομoίως από την ισότητα των τριγώνων OMA,MBI,OM=MI=r

Aρα το

είναι ορθογώνιο και

$4r^{2}=r^{2}+(r+x)^{2}\Leftrightarrow x=r(\sqrt{3}- 1)$

$\hat{MOA}=30,\hat{OMA}=\hat{OAM}=75=\hat{MBI},\hat{\omega }=105^{0}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AC}$ , ακτίνας , φέρουμε την εφαπτομένη στο , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο , ώστε : . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο του τμήματος , υπολογίστε το τμήμα και την γωνία $\hat{B}=\omega$

Το $\displaystyle M$ ανήκει στη μεσοκάθετη της $\displaystyle OC$ ,άρα $\displaystyle \vartriangle CMO$ ισόπλευρο ,οπότε $\displaystyle \angle MCB = {30^0}$

Επειδή $\displaystyle \angle CMA = {135^0} \Rightarrow \angle BMC = {45^0}$ ,άρα $\displaystyle \boxed{\angle CBA = {{105}^0}}$

$\displaystyle 2\left( {COM} \right) = \left( {OABC} \right) \Rightarrow \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\left( {x + r} \right)r}}{2} \Rightarrow \boxed{x = r\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

: τμήμα και γωνία.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

Τμήμα και γωνία

Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Re: Τμήμα και γωνία

Μέλη σε σύνδεση