Τμήμα και γωνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12471
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τμήμα και γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am

Τμήμα  και γωνία.png
Τμήμα και γωνία.png (7.31 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AC} , ακτίνας r , φέρουμε την εφαπτομένη στο C , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο B , ώστε : CB=x , x<r . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο M του τμήματος AB , υπολογίστε το τμήμα x και την γωνία \hat{B}=\omega



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τμήμα και γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 30, 2019 12:04 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AC} , ακτίνας r , φέρουμε την εφαπτομένη στο C , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο B , ώστε : CB=x , x<r . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο M του τμήματος AB , υπολογίστε το τμήμα x και την γωνία \hat{B}=\omega
Φέρνω CE||BA και έστω BM=MA=y.
Τμήμα και γωνία.Κ.png
Τμήμα και γωνία.Κ.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
\displaystyle {x^2} = BM \cdot BA = 2{y^2} και με Π. Θ στο OCE, είναι \displaystyle 4{y^2} = {r^2} + {(r - x)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2rx - 2{r^2} = 0

Άρα \boxed{x=(\sqrt 3-1)r} και \displaystyle cot\varphi  = \frac{{r - x}}{r} = 2 - \sqrt 3  = \tan 15^\circ  \Leftrightarrow \varphi  = 75^\circ  \Leftrightarrow \boxed{\omega=105^\circ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7839
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμήμα και γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 30, 2019 1:01 pm

Κατασκευή

Αν E το αντιδιαμετρικό του A ο κύκλος (E,2r) τέμνει τη, εφαπτομένη στο C, ευθεία στο σημείο B.

Ας είναι P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K οι προβολές των A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M στις CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CO. Θέτω: MA = MB = y.

Θα ισχύουν: \left\{ \begin{gathered} 
  B{C^2} = BM \cdot BA \hfill \\ 
  \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{BP}} \hfill \\ 
  K{M^2} = O{M^2} - O{K^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = 2{y^2} \hfill \\ 
  \frac{{2r}}{{2y}} = \frac{y}{{r - x}} \hfill \\ 
  KM = \sqrt {{r^2} - \frac{{{r^2}}}{4}}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = r(\sqrt 3  - 1) \hfill \\ 
  KM = \frac{{r\sqrt 3 }}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Τμήμα και γωνία.png
Τμήμα και γωνία.png (26.53 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Συνεπώς \boxed{KM = \frac{1}{2}{\lambda _3}} οπότε το τρίγωνο OCM είναι ισόπλευρο ,

\boxed{\widehat {CME} = \frac{1}{2}\widehat {COE} = 45^\circ  \Rightarrow \widehat \omega  = 105^\circ }


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2061
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τμήμα και γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μαρ 30, 2019 9:38 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AC} , ακτίνας r , φέρουμε την εφαπτομένη στο C , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο B , ώστε : CB=x , x<r . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο M του τμήματος AB , υπολογίστε το τμήμα x και την γωνία \hat{B}=\omega

Στο τρίγωνο OCM,MT//OA,OT=\dfrac{OM}{2},\hat{TMO}=30^{0}=\hat{TMC}


Οπότε το τρίγωνο OCM είναι ισόπλευρο

Από την ισότητα των τριγώνων CBM,AMJ, CM=MJ=r

Ομoίως από την ισότητα των τριγώνων OMA,MBI,OM=MI=r

Aρα το OCIJ είναι ορθογώνιο και

4r^{2}=r^{2}+(r+x)^{2}\Leftrightarrow x=r(\sqrt{3}-  1)


\hat{MOA}=30,\hat{OMA}=\hat{OAM}=75=\hat{MBI},\hat{\omega }=105^{0}




Γιάννης
Συνημμένα
Τμήμα και γωνία.png
Τμήμα και γωνία.png (62.48 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2035
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τμήμα και γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 31, 2019 2:09 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 30, 2019 10:44 am
Τμήμα και γωνία.pngΣε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AC} , ακτίνας r , φέρουμε την εφαπτομένη στο C , επί της

οποίας θεωρούμε σημείο B , ώστε : CB=x , x<r . Αν τόξο διέρχεται από

το μέσο M του τμήματος AB , υπολογίστε το τμήμα x και την γωνία \hat{B}=\omega

Το \displaystyle M ανήκει στη μεσοκάθετη της \displaystyle OC,άρα \displaystyle \vartriangle CMO ισόπλευρο ,οπότε \displaystyle \angle MCB = {30^0}

Επειδή \displaystyle \angle CMA = {135^0} \Rightarrow \angle BMC = {45^0},άρα \displaystyle \boxed{\angle CBA = {{105}^0}}

\displaystyle 2\left( {COM} \right) = \left( {OABC} \right) \Rightarrow \frac{{{r^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\left( {x + r} \right)r}}{2} \Rightarrow \boxed{x = r\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}
τμήμα και γωνία.png
τμήμα και γωνία.png (12.23 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης