Μια των μικρών δυο του μεγάλου

#1

: Μια των μικρών δυό του μεγάλου.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {BOC}$ και το μέσο του

. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο

του

με

.

Ο κύκλος (O,T,B)

τέμνει, ακόμη, το ημικύκλιο στο

Ο κύκλος

τέμνει, ακόμη, το ημικύκλιο στο

και την

στο

Να εξεταστεί αν οι $OT\,\,,\,\,\,BE\,$ και η

συντρέχουν.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 25, 2019 12:28 pm
Μια των μικρών δυό του μεγάλου.png

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {BOC}$ και το μέσο του . Θεωρούμε εσωτερικό σημείο του με .

Ο κύκλος τέμνει, ακόμη, το ημικύκλιο στο

Ο κύκλος τέμνει, ακόμη, το ημικύκλιο στο και την στο

Να εξεταστεί αν οι $OT\,\,,\,\,\,BE\,$ και η συντρέχουν.

Έστω

το κοινό σημείο των TO, BE

και

το σημείο τομής των BP, EM

Θα δείξω ότι τα σημεία P, N, C

είναι συνευθειακά.

: Μία και δύο...png (28.32 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

$\displaystyle T\widehat EO = T\widehat MO = T\widehat BO = 45^\circ ,$ οπότε οι κύκλοι που βαίνουν στην κοινή χορδή

θα είναι ίσοι. Εύκολα τώρα,

το BTEO

είναι χαρταετός, άρα BT=TE

και

οπότε $\displaystyle P\widehat BT = M\widehat ET,B\widehat PT = T\widehat ME$ και

κατά συνέπεια τα P, T, E

είναι συνευθειακά. Είναι λοιπόν, $\displaystyle PE = BM \Leftrightarrow P\widehat BE = M\widehat EB = 45^\circ ,$ δηλαδή

το SBE

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές κι επειδή η

είναι διάμεσος και BT=2TM,

το

είναι το βαρύκεντρο

και

μέσο του

Άρα $\displaystyle N\widehat PB = 90^\circ = C\widehat PB,$ τα P, N, C

είναι συνευθειακά και τo ζητούμενο αποδείχθηκε.

Μια των μικρών δυο του μεγάλου

Μια των μικρών δυο του μεγάλου

Re: Μια των μικρών δυο του μεγάλου

Μέλη σε σύνδεση