Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

#1

: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει:

. Δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της διχοτόμου

. από τις τρεις πλευρές , είναι σταθερό .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm
Σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png

Σε τρίγωνο ισχύει: . Δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της διχοτόμου . από τις τρεις πλευρές , είναι σταθερό .

$\displaystyle a + b + c = 3a \Rightarrow \boxed{a = \frac{{2\tau }}{3}}$

$\displaystyle \left( {SBC} \right) + \left( {SAC} \right) + \left( {SAB} \right) = \left( {ABC} \right) = E = \tau \rho$

$\displaystyle ax + y\left( {b + c} \right) = 2\tau \rho \Rightarrow ax + 2ay = 2\tau \rho \Rightarrow \frac{{2\tau }}{3}\left( {x + 2y} \right) = 2\tau \rho \Rightarrow \boxed{x + 2y = 3\rho }$

: σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

#3

Ας είναι

με

οι αποστάσεις του

από τις πλευρές a, b, c

αντιστοίχως. Για το εμβαδόν του τριγώνου είναι

2E=ax+by +cz =ax+by+cy=ax+y(b+c)

Άρα

σταθερό. (Ίσο με το ύψος από το Α)

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm
Σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png

Σε τρίγωνο ισχύει: . Δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της διχοτόμου . από τις τρεις πλευρές , είναι σταθερό .

Έστω $\displaystyle \theta =\hat{ADB}.$

Από νόμο ημιτόνων στο ABD

και θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε:

$\displaystyle \frac{\sin\frac{A}{2}}{\sin\theta}=\frac{BD }{c}=\frac{DC}{b}=\frac{BD+DC}{b+c}=\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\sin\frac{A}{2}=\sin\theta.$

Άρα για $x:=AS,\rho :=AD$ παίρνουμε

$\displaystyleSH+SZ+SE=2SH+SE=2x\sin\frac{A}{2} +(\rho -x)\sin\theta =x(2\sin\frac{A}{2}-\sin\theta)+\rho \sin\theta=$

$\displaystyle\rho \sin\theta(\sigma \tau \alpha \theta ).$

#5

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm
Σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png

Σε τρίγωνο ισχύει: . Δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της διχοτόμου . από τις τρεις πλευρές , είναι σταθερό .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και έστω

και

το ύψος του τριγώνου .Η παράλληλη από

το

στην

τέμνει τις AB, AK, AD, AC

στα

αντίστοιχα και είναι AP+AQ=2PQ.

: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων.png (18.39 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Προφανώς το

είναι το έγκεντρο του APQ

και, $\displaystyle \frac{{AS}}{{ST}} = \frac{{AP + AQ}}{{PQ}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{AF}}{y} = \frac{{AT}}{{ST}} = 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{y=\frac{AF}{3}}$ (1)

$\displaystyle SZ+SE+SH = 3y + z\mathop = \limits^{(1)} AF + LH = AF + FK \Leftrightarrow$ $\boxed{SZ+SE+SH=h}$

Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Re: Σταθερό άθροισμα αποστάσεων

Μέλη σε σύνδεση