Κατασκευή και υπολογισμοί

#1

α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε τα μήκη των $BC = a\,\,,\,\,BA = c\,\,$ και της διχοτόμου BD = d

. Με

β) Αν $a = 15\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 10$ βρείτε τις πλευρές $AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ αν γνωρίζετε ότι έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς .

STOPJOHN · #2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 7:37 pm
α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα μήκη των $BC = a\,\,,\,\,BA = c\,\,$ και της διχοτόμου . Με

β) Αν $a = 15\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 10$ βρείτε τις πλευρές $AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ αν γνωρίζετε ότι έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς .

α) Εστω $AE//BD,\dfrac{d}{AE}=\dfrac{a}{a+c}\Leftrightarrow AE=\dfrac{d(a+c)}{a}$ ,

EB=AB=c

οπότε το τρίγωνο ABE

κατασκευάζεται και στη συνέχεια το τρίγωνο ABC

β) Οι υπολογισμοί αυριο

Γιάννης

#3

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 18, 2019 7:37 pm
α) Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα μήκη των $BC = a\,\,,\,\,BA = c\,\,$ και της διχοτόμου . Με

β) Αν $a = 15\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 10$ βρείτε τις πλευρές $AB = c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ αν γνωρίζετε ότι έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς .

Κάτι παρόμοιο ως προς την κατασκευή.

α) Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε. Φέρνω DE||AB

(

σημείο της

). Είναι,

$\displaystyle \frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{DC}}{{DA}} = \frac{a}{c} \Leftrightarrow \frac{a}{{EB}} = \frac{{a + c}}{c} \Leftrightarrow$ $\boxed{EB = ED =\frac{{ac}}{{a + c}}}$

: Κατασκευή και υπολογισμοί.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Κατασκευή: Πάνω στη BC=a,

θεωρώ σημείο

ώστε $\displaystyle EB = \frac{{ac}}{{a + c}}$ και κατασκευάζω το τρίγωνο BED

με $\displaystyle ED = \frac{{ac}}{{a + c}},$ BD=d.

Στη συνέχεια φέρνω από το

ευθεία παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

Το

είναι το ζητούμενο τρίγωνο. Η απόδειξη είναι απλή και προκύπτει άμεσα από την Ανάλυση.

Διερεύνηση: Για να έχει το πρόβλημα λύση πρέπει να κατασκευάζεται το τρίγωνο BED.

Δηλαδή, $\boxed{d < \frac{{2ac}}{{a + c}}}$

β) Έστω $\displaystyle DC =ax= 15x,AD = cx,$ με 0<x<1.

$\displaystyle {d^2} = 15c - (15x)(cx) \Leftrightarrow 100 = 15c(1 - {x^2}) \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3c - 20}}{{3c}}} ,$ όπου το

είναι θετικός ακέραιος.

Επειδή όμως και το b=x(15+c)

είναι θετικός ακέραιος, το

θα πρέπει να είναι ρητός. Αυτό σημαίνει ότι οι παραστάσεις

3c, 3c-20

είναι τέλεια τετράγωνα. Έστω $\displaystyle 3c = {m^2},3c - 20 = {n^2} \Rightarrow (m - n)(m + n) = 20,m,n\in \mathbb{N}$

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι $m=6, n=4, x=\dfrac{2}{3},$ οπότε $\boxed{c=12}$ και $\boxed{b=18}$

Κατασκευή και υπολογισμοί

Κατασκευή και υπολογισμοί

Re: Κατασκευή και υπολογισμοί

Re: Κατασκευή και υπολογισμοί

Μέλη σε σύνδεση