Μήκος τμήματος 19

KARKAR · #1

: Μήκος τμήματος 19.png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το

είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα

,

το

το μέσο της πλευράς

και η

η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAD}$ . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών

και

. Υπολογίστε το τμήμα

, συναρτήσει των κάθετων

πλευρών b,c

του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για : b=5 , c=12

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:22 pm
Μήκος τμήματος 19.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα ,

το το μέσο της πλευράς και η η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAD}$ . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των κάθετων

πλευρών του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για :

$MT\bot BC\left( M\in BC \right)\Rightarrow \dfrac{SD}{MT}=\dfrac{ES}{EM}=\dfrac{AS}{AM}=\dfrac{{{\upsilon }_{a}}+SD}{AM}$ $\Rightarrow SD=\dfrac{MT\cdot {{\upsilon }_{a}}}{AM-MT}=\dfrac{\dfrac{\upsilon _{a}^{2}}{2}}{\dfrac{c}{2}-\dfrac{{{\upsilon }_{a}}}{2}}=\dfrac{\upsilon _{a}^{2}}{c-{{\upsilon }_{a}}}\Rightarrow$ $\overset{{{\upsilon }_{a}}=\dfrac{bc}{a}}{\mathop{\Rightarrow }}\,SD=\dfrac{\dfrac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}{c-\dfrac{bc}{a}}\Rightarrow SD=\dfrac{{{b}^{2}}c}{a\left( a-b \right)}\Rightarrow SD=\dfrac{{{b}^{2}}c}{\left( \sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}-b \right)\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 14, 2019 8:22 pm
Μήκος τμήματος 19.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το είναι το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα ,

το το μέσο της πλευράς και η η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{BAD}$ . Ονομάζουμε

την τομή των ευθειών και . Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των κάθετων

πλευρών του τριγώνου . Εφαρμογή για τρίγωνο με κάθετες πλευρές για :

Στο τρίγωνο ADB

με τέμνουσα $MES,\dfrac{EB}{ED}.\dfrac{DS}{DS+AD}.\dfrac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow \dfrac{AD+DS} {DS}=\dfrac{EB}{ED}$
και απο θεώρημα διχοτόμου και μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $ACB,DS=\dfrac{cb^{2}}{a(a-b)}\Leftrightarrow DS=\dfrac{cb^{2}}{(\sqrt{c^{2}+b^{2}}-b)\sqrt{c^{2}+b^{2}}}$

Γιάννης

#4

Ας είναι

η προβολή του

στην

.

Θέτω $DS = x,AD = h\,\,,\,\,MN = y,\,AE = u,EN = k,NB = w$ . Προφανώς $\boxed{w = u + k}$ (1)

Από το (Θ) διχοτόμου στο $\vartriangle ABD$ έχω: $\dfrac{{ED}}{{EB}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$ που λόγω της (1)

, δίδει:

$\dfrac{u}{{k + w}} = \frac{h}{c} \Rightarrow \dfrac{u}{{k + w - u}} = \dfrac{h}{{c - h}} \Rightarrow \dfrac{u}{{k + u + k - u}} = \dfrac{h}{{c - h}}$ και άρα : $\boxed{\frac{u}{k} = \frac{{2h}}{{c - h}}}$ (2)

: Μήκος τμήματος 19.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Επειδή το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ είναι : $\dfrac{1}{2}bc = \dfrac{1}{2}ah \Rightarrow \boxed{h = \frac{{bc}}{a}\,}\,(3)$

και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $DSE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NME$

και λόγω της (2)

έχω: $\dfrac{{DS}}{{MN}} = \dfrac{{DE}}{{EN}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{k} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{{h^2}}}{{c - h}}}$

Εδώ επί της ουσίας τελειώσαμε αφού λόγω της (3)

και του Π. Θ. προκύπτει :

$\boxed{x = \frac{{{b^2}\left( {b\sqrt {{b^2} + {c^2}} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{c\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}}$

Μήκος τμήματος 19

Μήκος τμήματος 19

Re: Μήκος τμήματος 19

Re: Μήκος τμήματος 19

Re: Μήκος τμήματος 19

Μέλη σε σύνδεση