Για κάποιο λόγο

#1

: Για κάποιο λόγο.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Στο άκρο

της διαμέτρου

ενός κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη και από ένα σημείο της

φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο

τμήμα KC.

Αν η

επανατέμνει τον κύκλο στο

και η

το τμήμα

στο

να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{EK}{EA}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 6:30 pm
Για κάποιο λόγο.png
Στο άκρο της διαμέτρου ενός κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη και από ένα σημείο της φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο

τμήμα Αν η επανατέμνει τον κύκλο στο και η το τμήμα στο να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{EK}{EA}.$

Αν $L\equiv BC\cap AK$ και $T\equiv AC\cap KB$ , τότε από το ορθογώνιο στο

(λόγω της διαμέτρου

) τρίγωνο $\vartriangle ACL$ με KC=KA

(εφαπτομενικά τμήματα) προκύπτει ότι

το μέσο της

Με

την πολική του σημείου

ως προς τον κύκλο προκύπτει ότι η σειρά $\left( K,D,T,B \right)$ είναι αρμονική, άρα και η δέσμη C.KDTB

είναι αρμονική και συνεπώς και η σειρά $\left( K,E,A,L \right)$ είναι αρμονική και συνεπώς $\dfrac{EK}{EA}=\dfrac{LK}{LA}=\dfrac{1}{2}$

Στάθης

Υ.Σ. Γιώργο συγνώμη για την μη ύπαρξη σχήματος αλλά βρίσκομαι εκτός Ελλάδος και στερούμαι "εργαλείων κατασκευής"

KARKAR · #3

: Συνευθειακά.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Στην κάθετη πλευρά

ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημείο

, τέτοιο

ώστε : $AN=\dfrac{2}{3}AB$ και έστω

το μέσο της άλλης κάθετης πλευράς της

.

Ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

στο

, ενώ ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει το προηγούμενο ημικύκλιο στο

. Δείξτε ότι τα σημεία T,S,N

είναι συνευθειακά .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 8:59 pm
Συνευθειακά.png Στην κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημείο , τέτοιο

ώστε : $AN=\dfrac{2}{3}AB$ και έστω το μέσο της άλλης κάθετης πλευράς της .

Ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο , ενώ ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει το προηγούμενο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Θανάση , σε πειράζει να φέρουμε την

και να δείξουμε την δοσμένη (ισοδύναμο πρόβλημα) αναλογία για το σημείο τομής της

με την

;(που δείξαμε πιο πάνω)

KARKAR · #5

Στάθη , πρόκειται για άλλη διατύπωση του ίδιου προβλήματος . Λογικά θα υπάρξει και άλλη λύση

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 8:59 pm
Συνευθειακά.png Στην κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε σημείο , τέτοιο

ώστε : $AN=\dfrac{2}{3}AB$ και έστω το μέσο της άλλης κάθετης πλευράς της .

Ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την στο , ενώ ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει το προηγούμενο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .