Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 08, 2019 4:49 pm

Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο.png
Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές
Έστω M το μέσο της πλευράς AB ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC(\widehat A=90^\circ).

Το ημικύκλιο διαμέτρου AB τέμνει την BC στο S. Φέρνουμε το δεύτερο εφαπτόμενο τμήμα CT

και έστω N το σημείο τομής των BC, MT. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(NST)}}{{(NMB)}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1862
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μαρ 09, 2019 9:52 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 08, 2019 4:49 pm
Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο.png
Έστω M το μέσο της πλευράς AB ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC(\widehat A=90^\circ).

Το ημικύκλιο διαμέτρου AB τέμνει την BC στο S. Φέρνουμε το δεύτερο εφαπτόμενο τμήμα CT

και έστω N το σημείο τομής των BC, MT. Να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle \frac{{(NST)}}{{(NMB)}}.
\displaystyle \left( {STB} \right) = \left( {STC} \right) \Rightarrow TB \cdot BS = TS \cdot TC \Rightarrow TB \cdot R\sqrt 2  = TS \cdot 2R \Rightarrow \boxed{TB = TS\sqrt 2 }

\displaystyle 2\left( {STB} \right) = TS \cdot TB \cdot \sin {135^0} \Rightarrow \left( {STB} \right) = \frac{{S{T^2}}}{2}

\displaystyle \tan x = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{TB}}{{AT}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AT = 2TC κι από Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle ATB \Rightarrow \boxed{TB = \frac{{2R}}{{\sqrt 5 }}}

άρα \displaystyle \boxed{TS = \frac{{2R}}{{\sqrt {10} }}} και \displaystyle \left( {STB} \right) = \frac{{{R^2}}}{5} \Rightarrow \frac{{\left( {STB} \right)}}{{\left( {SMB} \right)}} = \boxed{\frac{2}{5} = \frac{{TN}}{{NM}}}

Έτσι, \displaystyle TN = \frac{{2R}}{7} και με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle CNT \Rightarrow CN = \frac{{10R\sqrt 2 }}{7} \Rightarrow SN = CN - CS = \frac{{10R\sqrt 2 }}{7} - R\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{SN = \frac{{3R\sqrt 2 }}{7}}

άρα \displaystyle \boxed{NB = \frac{{4R\sqrt 2 }}{7}} και \displaystyle \boxed{\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{3}{4}}

\displaystyle \boxed{\frac{{\left( {NST} \right)}}{{\left( {NMB} \right)}} = \frac{{SN \cdot TN}}{{NB \cdot NM}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{{10}}}
Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο.png
Λόγος εμβαδών σε ημικύκλιο.png (23.59 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης