Δύο ύψη και μία διχοτόμος

KARKAR · #1

: Δύο ύψη και μία διχοτόμος.png (17.08 KiB) Προβλήθηκε 847 φορές

Στο οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διχοτόμο

και τα ύψη

BE , CZ

. Οι κύκλοι (B,Z,D)

και

τέμνονται ( και ) στο σημείο

.

Δείξτε ότι το

είναι σημείο της

και ακόμη ότι : SZ=SE

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 9:11 pm
Δύο ύψη και μία διχοτόμος.pngΣτο οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διχοτόμο και τα ύψη

. Οι κύκλοι και τέμνονται ( και ) στο σημείο .

Δείξτε ότι το είναι σημείο της και ακόμη ότι : .

Προφανώς το έχει ίσες δυνάμεις ώς προς τους δύο κύκλους (από το προφανές εγγράψιμο σε κύκλο ) και άρα είναι σημείο του ριζικούς τους άξονα (δηλαδή της κοινής τους χορδής

$\angle SEC\mathop = \limits^{D,S,E,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle SDB\mathop = \limits^{D,S,Z,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle SZA \Rightarrow S,E,A,Z$ ομοκυκλικά , οπότε $\angle ZES = \angle ZAS = \dfrac{{\angle A}}{2} = \angle SAE = \angle SZE\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle SZE} SZ = SE$

Στάθης

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 9:11 pm
Δύο ύψη και μία διχοτόμος.pngΣτο οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , φέραμε τη διχοτόμο και τα ύψη

. Οι κύκλοι και τέμνονται ( και ) στο σημείο .

Δείξτε ότι το είναι σημείο της και ακόμη ότι : .

Η πρόταση ισχύει και για τυχούσες (όχι κατ’ ανάγκη ύψη) με εγγράψιμο και το σημείο είναι το σημείο Miquel του τριγώνου $\vartriangle DZE$ ως προς το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , οπότε εγγράψιμο και (χορδές κύκλου που αντιστοιχούν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες (λόγω της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ )

Στάθης

Δύο ύψη και μία διχοτόμος

Δύο ύψη και μία διχοτόμος

Re: Δύο ύψη και μία διχοτόμος

Re: Δύο ύψη και μία διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση