Περίκυκλος ισοπλεύρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίκυκλος ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 23, 2019 9:19 am

Περίκυκλος  ισοπλεύρου.png
Περίκυκλος ισοπλεύρου.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Προεκτείνω την μήκους a , πλευρά BA ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα : AP=\dfrac{a}{2} .

Προεκτείνω επίσης την BC , κατά τμήμα CT=2a και ονομάζω S την τομή των AT , CP .

α) Δείξτε ότι το S βρίσκεται στον περίκυκλο του \displaystyle ABC ...β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AS}{CS} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίκυκλος ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 23, 2019 10:09 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 9:19 am
Περίκυκλος ισοπλεύρου.pngΠροεκτείνω την μήκους a , πλευρά BA ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα : AP=\dfrac{a}{2} .

Προεκτείνω επίσης την BC , κατά τμήμα CT=2a και ονομάζω S την τομή των AT , CP .

α) Δείξτε ότι το S βρίσκεται στον περίκυκλο του \displaystyle ABC ...β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AS}{CS} .
Περίκυκλος ισοπλεύρου.png
Περίκυκλος ισοπλεύρου.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
α) Μενέλαος στο ABT με διατέμνουσα \displaystyle \overline {PSC} , \displaystyle \frac{{2a}}{a} \cdot \frac{{3a/2}}{{a/2}} \cdot \frac{{AS}}{{ST}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{ST=6AS}

Νόμος συνημιτόνων στο ABT: \displaystyle A{T^2} = 9{a^2} + {a^2} - 3a \cdot a \Leftrightarrow \boxed{AT = a\sqrt 7 }

\displaystyle TS \cdot TA = \frac{6}{7}T{A^2} = 6{a^2} = 2a \cdot 3a = TC \cdot TB, άρα το S ανήκει στον περίκυκλο του ABC.

β) Είναι \displaystyle AS = \frac{{a\sqrt 7 }}{7} και από νόμο συνημιτόνων στο ASB βρίσκω SB=\dfrac{3a\sqrt 7}{7}. Αλλά, \displaystyle SB = SA + SC ,

οπότε SC = \dfrac{{2a\sqrt 7 }}{7} και \boxed{\dfrac{AS}{CS}=\dfrac{1}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Περίκυκλος ισοπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 23, 2019 12:22 pm

Αλλιώς το πρώτο

Αν M το μέσο του CT το τρίγωνο AMB είναι ορθογώνιο γιατί CA = CB = CM και αφού AM//PT και το τρίγωνο PBT είναι ορθογώνιο.

Φέρνω κάθετη στο C επί τη BC που τέμνει την ευθεία BP στο K. Αν H το σημείο τομής των KC\,\,\kappa \alpha \iota \,PT, ισχύουν τα παρακάτω:

α) \vartriangle PHK \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ )\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA = AK = a αφού: \vartriangle CBK \approx \vartriangle PHK

β) Το τετράπλευρο KPCTείναι εγγράψιμο αφού τα P\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C βλέπουν υπό ορθή γωνία τηνKT

γ) AP = PK = \frac{a}{2} και άρα το τρίγωνο TKA είναι ισοσκελές με κορυφή το T.
περίλυκλος ισοπλεύρου.png
περίλυκλος ισοπλεύρου.png (35.13 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές
Μετά απ’ αυτά :

\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} δηλαδή και το τετράπλευρο HSCK είναι εγγράψιμο άρα \widehat \theta  = \widehat \omega  = 60^\circ .

Συνεπώς ο περίκυκλος του \vartriangle ABC διέρχεται από το S.

Για το δεύτερο
περίλυκλος ισοπλεύρου_λόγος.png
περίλυκλος ισοπλεύρου_λόγος.png (30.12 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
Τα τρίγωνα SAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SPB είναι όμοια γιατί \widehat {ASC} = \widehat {PSB} = 120^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ACS} = \widehat {SBC}.

Στο δε \vartriangle SPB η SA είναι διχοτόμος , οπότε:

\boxed{\frac{{SA}}{{SC}} = \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{1}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1767
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Περίκυκλος ισοπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Φεβ 23, 2019 9:49 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 23, 2019 9:19 am
Περίκυκλος ισοπλεύρου.pngΠροεκτείνω την μήκους a , πλευρά BA ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , κατά τμήμα : AP=\dfrac{a}{2} .

Προεκτείνω επίσης την BC , κατά τμήμα CT=2a και ονομάζω S την τομή των AT , CP .

α) Δείξτε ότι το S βρίσκεται στον περίκυκλο του \displaystyle ABC ...β) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AS}{CS} .

Με \displaystyle CD \bot AB \Rightarrow P{C^2} = P{D^2} + D{C^2} = \frac{{7{a^2}}}{4}.Με \displaystyle CH//AB \Rightarrow HC = \frac{{2a}}{3}

\displaystyle \frac{{PS}}{{SC}} = \frac{{AP}}{{CH}} = \frac{3}{4} \Rightarrow PS = \frac{3}{7}PC \Rightarrow PS \cdot PC = \frac{3}{7}P{C^2} = \frac{3}{7} \cdot \frac{{7{a^2}}}{4} = \frac{{3{a^2}}}{4} = PA \cdot PB\displaystyle  \Rightarrow SABC εγγράψιμο

\displaystyle x + \omega  = y + \omega  = {60^0} \Rightarrow x = y και \displaystyle \angle ASC = \angle ACT = {120^0} \Rightarrow \vartriangle ASC \simeq \vartriangle ACT \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SC}} = \frac{{AC}}{{CT}} = \frac{1}{2}}
περίκυκλος ισόπλευρου.png
περίκυκλος ισόπλευρου.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης