Διασταύρωση σε κύκλο

#1

: Διασταύρωση πάνω σε κύκλο.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Δύο κύκλοι $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ . Έστω σημείο

του $({C_2})$ εκτός του $({C_1})$

α) Να κατασκευαστεί κύκλος (K)

που να εφάπτεται εσωτερικά του $({C_2})$ στο σημείο

και εξωτερικά του $({C_1})$ σε σημείο

.

β) Αν επί πλέον οι κύκλοι $({C_1})\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,({C_2})$ είναι ίσοι , να δείξετε ότι οι $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ διασταυρώνονται πάνω στον κύκλο (K)

#2

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 11:44 am
Διασταύρωση πάνω σε κύκλο.png

Δύο κύκλοι $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ . Έστω σημείο του $({C_2})$ εκτός του $({C_1})$

α) Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται εσωτερικά του $({C_2})$ στο σημείο και εξωτερικά του $({C_1})$ σε σημείο .

Για την κατασκευή. Έστω (O, r), (L, R)

οι κύκλοι

: Διασταύρωση.Ι.png (25.16 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Στην προέκταση του

θεωρώ σημείο

ώστε

Η μεσοκάθετος του

τέμνει την

στο

Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

Πράγματι, ο κύκλος (K)

εφάπτεται από κατασκευής στον (C_2).

Έστω ότι η

τέμνει τον (C_1)

στο

Είναι:

$\displaystyle KO = KE = KD + r \Leftrightarrow KC + r = KD + r \Leftrightarrow KC = KD$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#3

Για το β) ερώτημα.

Η

τέμνει τον (C_2)

στο

η

τον

στο

και έστω

το σημείο τομής των DH, OL

και

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον (C_1).

Έστω ακόμα

η ακτίνα των ίσων κύκλων,

η ακτίνα του (K)

και

η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των (C_1),

Θα δείξω ότι τα σημεία A, C, P

είναι συνευθειακά.

: Διασταύρωση.ΙΙ.png (35.55 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Μενέλαος στο OKL

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {DCN} ,$ $\displaystyle \frac{{ON}}{{NL}} \cdot \frac{{LD}}{{KD}} \cdot \frac{{KC}}{{CO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ON}}{{NL}} \cdot \frac{R}{r} \cdot \frac{r}{R} = 1 \Leftrightarrow ON = NL$

Άρα το

είναι μέσο και των AB, HC,

οπότε

είναι παραλληλόγραμμο και λόγω των ίσων κύκλων θα είναι

$\displaystyle A\widehat ZC = H\widehat DB \Leftrightarrow y\widehat CA = x\widehat CP,$ άρα οι $y\widehat CA , x\widehat CP$ είναι κατακορυφήν και κατά συνέπεια τα A, C, P

συνευθειακά.

#4

$\bullet$ Η δια του κέντρου

του κύκλου (O)

παράλληλη και αντίρροπη ημιευθεία προς την ημιευθεία

, τέμνει τον (O)

στο σημείο έστω

και έστω το σημείο $C\equiv (O)\cap DE$ .

Η ευθεία

τέμνει την

στο σημείο έστω

, το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου (K)

, ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά στον (L)

και εξωτερικά στον (O)

και το πρώτο ζητούμενο έχει απαντηθεί.

: Διασταύρωση σε κύκλο.; f 178_t 63909.PNG (24.64 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

$\bullet$ Εάν τώρα, οι κύκλοι $(O),\ (L)$ είναι ίσοι, έχουμε $OA\parallel = BL\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και $KZ\parallel LB$

λόγω ομοιοθεσίας των κύκλων $(L),\ (K)$ ως προς το σημείο

όπου $Z\equiv (K)\cap BD\Rightarrow$ $KZ\parallel OA\ \ \ ,(2)$

Από (2)

και επειδή οι ημιευθείες $KZ,\ OA$ είναι αντίρροπες, συμπεραίνεται ότι η ευθεία

περνάει από το σημείο

ως το εσωτερικό κέντρο ομοιότητας των κύκλων $(O),\ (K)$ και το ( ισοδύναμο ) δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#5

Άλλη μία κατασκευή για την ειδική περίπτωση που οι κύκλοι είναι ίσοι.

: Διασταύρωση.ΙΙΙ.png (23.66 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές

Έστω

το σημείο τομής των AB, OL.

Η

τέμνει τον (C_1)

στο

και η

την

στο

Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

Διασταύρωση σε κύκλο

Διασταύρωση σε κύκλο

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

Re: Διασταύρωση σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση