Διακτινικό ύψος

#1

: Διακτινικό ύψος.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Έστω

το μέσο του ύψους

τριγώνου

και

το έγκεντρο. Η

τέμνει τη

στο

α) Να δείξετε ότι το

είναι το σημείο επαφής του

παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη BC.

β) Να υπολογίσετε το ύψος

συναρτήσει των ακτίνων r, r_a

του εγγεγραμμένου και

παρεγγεγραμμένου κύκλου.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 20, 2019 2:00 pm

Διακτινικό ύψος.png
Έστω το μέσο του ύψους τριγώνου και το έγκεντρο. Η τέμνει τη στο

α) Να δείξετε ότι το είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη

β) Να υπολογίσετε το ύψος συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και παρεγγεγραμμένου κύκλου.

Καλησπέρα Γιώργο.

α) Αρκεί να δείξω ότι η

τέμνει την

στο μέσον της, με

το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την

. Αυτό είναι ένα γνωστό Λήμμα, μία απόδειξη:

Αν

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου με την

και

το αντιδιαμετρικό αυτού, αρκεί να δείξω ότι η

τέμνει την

στο σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την

(πράγματι τότε θα είχα $KI=IL, AD \parallel KL$ , οπότε από Θ. Κεντρικής Δέσμης, το $M \equiv FI \cap AD$ είναι το μέσον της

).

Ισοδύναμα, αρκεί να δείξω ότι αν η

τέμνει τον εγγεγραμμένο σε σημείο

, τότε το

είναι το αντιδιαμετρικό του

στον εγγεγραμμένο.

Έστω,

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου με την

,

το κέντρο του παρεγγεγραμμένου και

το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την

.

Από γνωστό Λήμμα, τα A,I,I_a

είναι συνευθειακά. Επίσης, είναι $IK' \parallel IT$ οπότε $\dfrac{AI}{AI_a}=\dfrac{IK'}{IT}=\dfrac{r}{r_a}$ (1).

Ακόμη, είναι $\dfrac{IK}{FI_a}=\dfrac{r}{r_a}$ (2).

Από (1), (2) προκύπτει $\dfrac{AI}{AI_a}=\dfrac{IK}{I_aF} \Rightarrow IK \parallel I_aF \Rightarrow IK \perp BC$ , και αφού $IL \perp BC$ , τα I,K,L

είναι συνευθειακά. Συνεπώς, το

είναι το αντιδιαμετρικό του

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

β) Είναι, (με $\tau$ συμβολίζεται η ημιπερίμετρος του $\vartriangle ABC$ ) $\tau \cdot r=(ABC)=\dfrac{a \cdot AD}{2} \Rightarrow AD=(1+\dfrac{b+c}{a})r$ (3).

Ακόμη, είναι $\dfrac{IK'}{IT}=\dfrac{AK'}{AT}=\dfrac{\tau-a}{\tau}=\dfrac{b+c-a}{b+c+a} \Rightarrow \dfrac{r}{r_a}=\dfrac{\dfrac{b+c}{a}-1}{\dfrac{b+c}{a}+1} \Rightarrow \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{r_a+r}{r_a-r}$ (4).

Συνδυάζοντας τις (3), (4) προκύπτει $AD=\dfrac{2rr_a}{r_a-r}$ .

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 20, 2019 2:00 pm
Διακτινικό ύψος.png
Έστω το μέσο του ύψους τριγώνου και το έγκεντρο. Η τέμνει τη στο
α) Να δείξετε ότι το είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη
β) Να υπολογίσετε το ύψος συναρτήσει των ακτίνων του εγγεγραμμένου και παρεγγεγραμμένου κύκλου.

Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση στηριγμένη σε αρμονικότητα

α) Έστω το σημείο τομής της στο καθέτου προς την με την και $E\equiv AI\cap BC$ και το σημείο επαφής του έγκυκλου $\left( I \right)$ με την . Τότε με
$FL\parallel AD$ και το μέσο της προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική , άρα και η σειρά $\left( A,I,E,L \right)$ είναι αρμονική οπότε και η δέσμη είναι αρμονική και με τη διχοτόμο της $\angle EBA\Rightarrow LB\bot BI$ δηλαδή η είναι η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας $B\Rightarrow L\equiv {{I}_{a}}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: Διακτινικό ύψος.png (35.02 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

β) Από την αρμονική σειρά $\left( {A,I,E,L} \right) \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AL}} = \dfrac{{EI}}{{EL}}\mathop \Rightarrow \limits^{AD\parallel IK\parallel FL} \dfrac{{AM}}{{AM + LF}} = \dfrac{{IK}}{{LF}} \Rightarrow$ $\dfrac{{\dfrac{{{\upsilon _a}}}{2}}}{{\dfrac{{{\upsilon _a}}}{2} + {r_a}}} = \dfrac{r}{{{r_a}}} \Rightarrow$ $\ldots \boxed{{\upsilon _a} = \dfrac{{2r \cdot {r_a}}}{{{r_a} - r}}}$

Στάθης

Διακτινικό ύψος

Διακτινικό ύψος

Re: Διακτινικό ύψος

Re: Διακτινικό ύψος

Μέλη σε σύνδεση