Εφαπτόμενος κύκλος

#1

: Εφαπτόμενος κύκλος..png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Έστω

το έγκεντρο τριγώνου ABC

και μία χορδή

του εγγεγραμμένου κύκλου παράλληλη στη BC,

όπου

σημείο της διαμέσου AM.

Αν η

τέμνει τη

στο

και

είναι το συμμετρικό του

ως προς την AI,

να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία M, S, N

εφάπτεται στις ευθείες AB, AC.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 19, 2019 5:36 pm
Εφαπτόμενος κύκλος..png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου και μία χορδή του εγγεγραμμένου κύκλου παράλληλη στη όπου σημείο της διαμέσου Αν η τέμνει τη στο και είναι το συμμετρικό του ως προς την να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία εφάπτεται στις ευθείες

: εφαπτόμενος κύκλος.png (61.88 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Προφανώς το κέντρο του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle MSN$ βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου της , δηλαδή είναι συνευθειακά και με τις χορδές παράλληλες (με $A\equiv KN\cap LM$ ) προκύπτει ότι το είναι το κέντρο ομοιοθεσίας των κύκλων και συνεπώς $\dfrac{AL}{AM}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{{{R}_{I}}}{{{R}_{O}}}=\lambda :\left( 1 \right)$ (όπου λ είναι ο λόγος ομοιοθεσίας του $\left( I \right)$ ).

Αν είναι το σημείο επαφής του $\left( I \right)$ με την $AC\left( ID\bot AC \right)$ και $OE\bot AC\left( E\in AC \right)$ τότε από $ID\parallel OE \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{OE}} = \dfrac{{AI}}{{AO}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{{R_I}}}{{{R_O}}} \Rightarrow$ $\dfrac{{{R_I}}}{{OE}} = \dfrac{{{R_I}}}{{{R_O}}} \Rightarrow OE = {R_O} \Rightarrow$ ο κύκλος $\left( O \right)$ εφάπτεται της (και φυσικά ομοίως και της ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Εφαπτόμενος κύκλος

Εφαπτόμενος κύκλος

Re: Εφαπτόμενος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση