Εφαπτόμενος κύκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εφαπτόμενος κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 19, 2019 5:36 pm

Εφαπτόμενος κύκλος..png
Εφαπτόμενος κύκλος..png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC και μία χορδή KL του εγγεγραμμένου κύκλου παράλληλη στη BC, όπου

L σημείο της διαμέσου AM. Αν η AK τέμνει τη BC στο N και S είναι το συμμετρικό του M ως προς την AI,

να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία M, S, N εφάπτεται στις ευθείες AB, AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3951
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εφαπτόμενος κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Φεβ 21, 2019 10:35 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Φεβ 19, 2019 5:36 pm
Εφαπτόμενος κύκλος..png
Έστω I το έγκεντρο τριγώνου ABC και μία χορδή KL του εγγεγραμμένου κύκλου παράλληλη στη BC, όπου L σημείο της διαμέσου AM. Αν η AK τέμνει τη BC στο N και S είναι το συμμετρικό του M ως προς την AI, να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία M, S, N εφάπτεται στις ευθείες AB, AC.
εφαπτόμενος κύκλος.png
εφαπτόμενος κύκλος.png (61.88 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές
Προφανώς το κέντρο O του περίκυκλου του τριγώνου \vartriangle MSN βρίσκεται επί της μεσοκαθέτου της SM , δηλαδή A,I,O είναι συνευθειακά και με τις χορδές KL,MN παράλληλες (με A\equiv KN\cap LM ) προκύπτει ότι το A είναι το κέντρο ομοιοθεσίας των κύκλων και συνεπώς \dfrac{AL}{AM}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{{{R}_{I}}}{{{R}_{O}}}=\lambda :\left( 1 \right) (όπου λ είναι ο λόγος ομοιοθεσίας του \left( I \right) ).

Αν D είναι το σημείο επαφής του \left( I \right) με την AC\left( ID\bot AC \right) και OE\bot AC\left( E\in AC \right) τότε από ID\parallel OE \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{OE}} = \dfrac{{AI}}{{AO}}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{{R_I}}}{{{R_O}}} \Rightarrow \dfrac{{{R_I}}}{{OE}} = \dfrac{{{R_I}}}{{{R_O}}} \Rightarrow OE = {R_O} \Rightarrow ο κύκλος \left( O \right) εφάπτεται της AC (και φυσικά ομοίως και της AB ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες