Ανταλλαγή εφαπτόμενων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7531
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ανταλλαγή εφαπτόμενων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 17, 2019 9:03 pm

Ανταλλαγή εφαπτομένων.png
Ανταλλαγή εφαπτομένων.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Δίδεται κύκλος (K) κέντρου K και ακτίνας R. Έστω δε σημείο του L.

Θεωρώ σημείο S πάνω στην ακτίνα KL και γράφω τον κύκλο (L) κέντρου L και ακτίνας LS = r και έστω A ένα από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων .

Ας είναι Z το αντιδιαμετρικό του S. Η ευθεία ZA τέμνει ακόμα τον κύκλο (K) στο σημείο D.

Από τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα DE στον κύκλο (L) και ZH στον κύκλο (K).

α) Να βρεθεί ο λόγος : \dfrac{{DE}}{{ZH}}

β) Πως θα επιλεγεί το S έτσι ώστε DE = 2ZH

Θα μπορούσε να μπει και στο φάκελο Β λυκείου. Όποιος βρει τη σύντομη λύση τη γράφει άνευ σχολίων .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9783
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανταλλαγή εφαπτόμενων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 18, 2019 10:34 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 9:03 pm
Ανταλλαγή εφαπτομένων.png


Δίδεται κύκλος (K) κέντρου K και ακτίνας R. Έστω δε σημείο του L.

Θεωρώ σημείο S πάνω στην ακτίνα KL και γράφω τον κύκλο (L) κέντρου L και ακτίνας LS = r και έστω A ένα από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων .

Ας είναι Z το αντιδιαμετρικό του S. Η ευθεία ZA τέμνει ακόμα τον κύκλο (K) στο σημείο D.

Από τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα DE στον κύκλο (L) και ZH στον κύκλο (K).

α) Να βρεθεί ο λόγος : \dfrac{{DE}}{{ZH}}


β) Πως θα επιλεγεί το S έτσι ώστε DE = 2ZH

Θα μπορούσε να μπει και στο φάκελο Β λυκείου. Όποιος βρει τη σύντομη λύση τη γράφει άνευ σχολίων .
Έστω M το μέσο του AD.
Ανταλλαγή  εφαπτομένων.png
Ανταλλαγή εφαπτομένων.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
α) \displaystyle \frac{{DE}}{{ZH}} = \frac{{\sqrt {DA \cdot DZ} }}{{\sqrt {ZA \cdot DZ} }} = \sqrt {\frac{{DA}}{{ZA}}}  = \sqrt {\frac{{2MA}}{{ZA}}}  = \sqrt {\frac{{2KS}}{{SZ}}}  \Leftrightarrow \boxed{\frac{{DE}}{{ZH}} = \sqrt {\frac{{R - r}}{r}} }

β) \displaystyle DE = 2ZH \Leftrightarrow R - r = 4r \Leftrightarrow \boxed{LS=\frac{R}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης