Ίσα τμήματα σε πλευρά
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ίσα τμήματα σε πλευρά
Η διάμεσος τριγώνου τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Οι παράλληλες από τα στηΛέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 17, 2019 6:42 pmΊσα τμήματα σε πλευρά.png
Η διάμεσος τριγώνου τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Οι παράλληλες από τα στη επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τη στα να δείξετε ότι
Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την τότε:
Με και το μέσο της προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική οπότε και η σειρά είναι αρμονική (όπου ). Το είναι σημείο της πολικής του , οπότε το είναι σημείο της πολικής του , και επίσης από την αρμονική δέσμη το είναι σημείο της πολικής του οπότε και το είναι σημείο της πολικής του . Άρα είναι η πολική του και συνεπώς και με χορδή του θα είναι μεσοκάθετη της άρα και της άλλης βάσης του ισοσκελούς (λόγω εγγραψιμότητας) τραπεζίου , δηλαδή η ευθεία είναι άξονας συμμετρίας του , οπότε είναι σημείο και της άλλης διαγωνίου του .
Από την αρμονική δέσμη (αφού η πολική του ως προς τον ) προκύπτει ότι και η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της από όπου (από την κεντρική δέσμη με το μέσο και της . Έτσι τα τμήματα έχουν κοινό μέσο (το ) και συνεπώς και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Παρατήρηση: Δεν είναι ανάγκη ο κύκλος να είναι ο έγκυκλος του τριγώνου , αρκεί να εφάπτεται στις πλευρές
Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τρί Φεβ 19, 2019 10:56 pmΈστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με τις πλευρές του αντίστοιχα και .george visvikis έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 17, 2019 6:42 pmΊσα τμήματα σε πλευρά.png
Η διάμεσος τριγώνου τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Οι παράλληλες από τα στη επανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τη στα να δείξετε ότι
Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την τότε:
Με και το μέσο της προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική οπότε και η σειρά είναι αρμονική (όπου ).
Ισα τμήματα σε πλευρά.png
Το είναι σημείο της πολικής του , οπότε το είναι σημείο της πολικής του , και επίσης από την αρμονική δέσμη το είναι σημείο της πολικής του οπότε και το είναι σημείο της πολικής του . Άρα είναι η πολική του και συνεπώς και με χορδή του θα είναι μεσοκάθετη της άρα και της άλλης βάσης του ισοσκελούς (λόγω εγγραψιμότητας) τραπεζίου , δηλαδή η ευθεία είναι άξονας συμμετρίας του , οπότε είναι σημείο και της άλλης διαγωνίου του .
Από την αρμονική δέσμη (αφού η πολική του ως προς τον ) προκύπτει ότι και η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της από όπου (από την κεντρική δέσμη με το μέσο και της . Έτσι τα τμήματα έχουν κοινό μέσο (το ) και συνεπώς και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Παρατήρηση: Δεν είναι ανάγκη ο κύκλος να είναι ο έγκυκλος του τριγώνου , αρκεί να εφάπτεται στις πλευρές
Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή
Στάθης
7.13 σελίδα 462 Μπάμπη Στεργιου για διαγωνισμούς 4
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά
Σ' ευχαριστώ Στάθη για τη λύση. Είναι το πρόβλημα από IMO Shortlist 2005. Στη σελίδα 16 υπάρχει η επίσημη λύση. (Έχω αλλάξει δύο γράμματα, γιατί δεν μου αρέσει να βάζω σημεία με τα γράμματα ).ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Τρί Φεβ 19, 2019 10:56 pm
Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή
Στάθης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά
Η παρακάτω λύση δεν είναι δική μου. Την διάβασα και μου άρεσε. εδώ ο Στάθης υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα και εφάπτεται στις έστω στα σημεία
Ομοίως βρίσκουμε ... και τα υπόλοιπα είναι απλά.
Όπως απέδειξε Ομοίως βρίσκουμε ... και τα υπόλοιπα είναι απλά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες