Ίσα τμήματα σε πλευρά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα σε πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 17, 2019 6:42 pm

Ίσα τμήματα σε πλευρά.png
Ίσα τμήματα σε πλευρά.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές
Η διάμεσος AM τριγώνου ABC τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία K, L. Οι παράλληλες από τα K, L στη BC

επανατέμνουν τον κύκλο στα D, E αντίστοιχα. Αν οι AD, AE τέμνουν τη BC στα P, Q, να δείξετε ότι BQ=PC.

Η πηγή μετά τη λύση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Φεβ 19, 2019 10:56 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 6:42 pm
Ίσα τμήματα σε πλευρά.png
Η διάμεσος AM τριγώνου ABC τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία K, L. Οι παράλληλες από τα K, L στη BC επανατέμνουν τον κύκλο στα D, E αντίστοιχα. Αν οι AD, AE τέμνουν τη BC στα P, Q, να δείξετε ότι BQ=PC.
Η πηγή μετά τη λύση.
 \bullet Έστω F,T τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου \vartriangle ABC με τις πλευρές του AB,AC αντίστοιχα και Z\equiv AD\cap EL .
Αν S είναι το σημείο τομής της εκ του A παραλλήλου προς την BC με την FT τότε:

 \bullet Με AS\parallel BC και M το μέσο της BC προκύπτει ότι η δέσμη A.SCMB είναι αρμονική οπότε και η σειρά \left( S,T,X,F \right) είναι αρμονική (όπου X\equiv FT\cap AKLM ).
Ισα τμήματα σε πλευρά.png
Ισα τμήματα σε πλευρά.png (40.51 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές
 \bullet Το X είναι σημείο της πολικής του A , οπότε το A είναι σημείο της πολικής του X , και επίσης από την αρμονική δέσμη \left( S,T,X,F \right) το X είναι σημείο της πολικής του S οπότε και το S είναι σημείο της πολικής του X . Άρα AS είναι η πολική του X και συνεπώς IX\bot AS\overset{AS\parallel BC\parallel KD\parallel EZ}{\mathop{\Rightarrow }}\,IX\bot KD και με KD χορδή του \left( I \right) θα είναι IX μεσοκάθετη της KD άρα και της άλλης βάσης EL του ισοσκελούς (λόγω εγγραψιμότητας) τραπεζίου , δηλαδή η ευθεία IX είναι άξονας συμμετρίας του KELD , οπότε X είναι σημείο και της άλλης διαγωνίου του ED .

 \bullet Από την αρμονική δέσμη \left( A,K,X,L \right) (αφού FT η πολική του A ως προς τον \left( I \right) ) προκύπτει ότι και η δέσμη D.AKXL είναι αρμονική και με DK\parallel EZ\Rightarrow L το μέσο της EZ από όπου (από την κεντρική δέσμη A.QMP με EZ\parallel PQ\Rightarrow M το μέσο και της QP . Έτσι τα τμήματα BC,QP έχουν κοινό μέσο (το M ) και συνεπώς \boxed{BQ = PC} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Παρατήρηση: Δεν είναι ανάγκη ο κύκλος να είναι ο έγκυκλος του τριγώνου \vartriangle ABC , αρκεί να εφάπτεται στις πλευρές AB,AC

Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 20, 2019 12:19 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Φεβ 19, 2019 10:56 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 17, 2019 6:42 pm
Ίσα τμήματα σε πλευρά.png
Η διάμεσος AM τριγώνου ABC τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία K, L. Οι παράλληλες από τα K, L στη BC επανατέμνουν τον κύκλο στα D, E αντίστοιχα. Αν οι AD, AE τέμνουν τη BC στα P, Q, να δείξετε ότι BQ=PC.
Η πηγή μετά τη λύση.
 \bullet Έστω F,T τα σημεία επαφής του έγκυκλου του τριγώνου \vartriangle ABC με τις πλευρές του AB,AC αντίστοιχα και Z\equiv AD\cap EL .
Αν S είναι το σημείο τομής της εκ του A παραλλήλου προς την BC με την FT τότε:

 \bullet Με AS\parallel BC και M το μέσο της BC προκύπτει ότι η δέσμη A.SCMB είναι αρμονική οπότε και η σειρά \left( S,T,X,F \right) είναι αρμονική (όπου X\equiv FT\cap AKLM ).

Ισα τμήματα σε πλευρά.png
 \bullet Το X είναι σημείο της πολικής του A , οπότε το A είναι σημείο της πολικής του X , και επίσης από την αρμονική δέσμη \left( S,T,X,F \right) το X είναι σημείο της πολικής του S οπότε και το S είναι σημείο της πολικής του X . Άρα AS είναι η πολική του X και συνεπώς IX\bot AS\overset{AS\parallel BC\parallel KD\parallel EZ}{\mathop{\Rightarrow }}\,IX\bot KD και με KD χορδή του \left( I \right) θα είναι IX μεσοκάθετη της KD άρα και της άλλης βάσης EL του ισοσκελούς (λόγω εγγραψιμότητας) τραπεζίου , δηλαδή η ευθεία IX είναι άξονας συμμετρίας του KELD , οπότε X είναι σημείο και της άλλης διαγωνίου του ED .

 \bullet Από την αρμονική δέσμη \left( A,K,X,L \right) (αφού FT η πολική του A ως προς τον \left( I \right) ) προκύπτει ότι και η δέσμη D.AKXL είναι αρμονική και με DK\parallel EZ\Rightarrow L το μέσο της EZ από όπου (από την κεντρική δέσμη A.QMP με EZ\parallel PQ\Rightarrow M το μέσο και της QP . Έτσι τα τμήματα BC,QP έχουν κοινό μέσο (το M ) και συνεπώς \boxed{BQ = PC} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Παρατήρηση: Δεν είναι ανάγκη ο κύκλος να είναι ο έγκυκλος του τριγώνου \vartriangle ABC , αρκεί να εφάπτεται στις πλευρές AB,AC

Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή

Στάθης

7.13 σελίδα 462 Μπάμπη Στεργιου για διαγωνισμούς 4


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 20, 2019 8:59 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τρί Φεβ 19, 2019 10:56 pm

Υ.Σ. Γιώργο με ενδιαφέρει η πηγή αλλά περισσότερο με ενδιαφέρει η πιθανή λύση που έχεις ή η λύση που έχει η πηγή

Στάθης
Σ' ευχαριστώ Στάθη για τη λύση. Είναι το πρόβλημα 19 από IMO Shortlist 2005. Στη σελίδα 16 υπάρχει η επίσημη λύση. (Έχω αλλάξει δύο γράμματα, γιατί δεν μου αρέσει να βάζω σημεία με τα γράμματα X, Y).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα σε πλευρά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 23, 2019 7:05 pm

Η παρακάτω λύση δεν είναι δική μου. Την διάβασα και μου άρεσε.
Ίσα τμήματα σε πλευρά.ΙΙ.png
Ίσα τμήματα σε πλευρά.ΙΙ.png (53.58 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
Όπως απέδειξε εδώ ο Στάθης υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα M, P και εφάπτεται στις AB, AC έστω στα σημεία S, T.

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BM \cdot BP = B{S^2}\\ 
CP \cdot CM = C{T^2}\\ 
c + BS = b + CT 
\end{array} \right. \Rightarrow c + \sqrt {BM} \sqrt {BP}  = b + \sqrt {CP} \sqrt {CM}  \Leftrightarrow b - c = \sqrt {\frac{a}{2}} \left( {\sqrt {BP}  - \sqrt {CP} } \right)

Ομοίως βρίσκουμε \displaystyle b - c = \sqrt {\frac{a}{2}} \left( {\sqrt {CQ}  - \sqrt {BQ} } \right) ... και τα υπόλοιπα είναι απλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης