Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm

Ορθογώνιο  σε τεταρτοκύκλιο.png
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές
Με βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2078
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Φεβ 14, 2019 11:02 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Με βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .
Θανάση καλησπέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 1.png
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 1.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Χωρίς να στερείται γενικότητας το θέμα μας θεωρούμε ότι:

\displaystyle{OA=OB=1 \  \  (1)}

Ακόμα είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι:

\displaystyle{\hat{POB}=2\phi \ \ (2)}

κι ακόμα:

\displaystyle{\hat{SOP}=\theta \   \  (3)}

Επομένως:

\displaystyle{cos\theta =x, \  \ tan\theta =\frac{y}{x} \  \ (4)}

Ακόμα θα είναι:

\displaystyle{x^2+y^2=1 \  \ (5)}

Εξάλλου από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο \displaystyle{(BST)} προκύπτει:

\displaystyle{\frac{TP}{SP}=\frac{BT}{SB} \Rightarrow \frac{1-y}{y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \  \ (6)}

Από την (6) υψώνοντας στο τετράγωνο και από την ιδιότητα των ίσων κλασμάτων, προκύπτει:

\displaystyle{\frac{y^2-2y+1}{y^2}=\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{2-2y}{2}=1-y \  \ (7) }

Από την (7) εξισώνοντας το πρώτο κλάσμα με την τελική τιμή προκύπτει η εξίσωση:

\displaystyle{\frac{y^2-2y+1}{y^2}=1-y \  \ (8)}

Λύνοντας την (8) και λαμβάνοντας τη θετική λύση προκύπτει:

\displaystyle{y =\frac{\sqrt{5}-1}{2} \  \ (9)}

Με την τιμή αυτή κατασκευάζεται το σχήμα γιατί το τμήμα που ορίζεται από την (9) κατασκευάζεται.

Από την τιμή αυτή και από την (5) βρίσκεται ότι:

\displaystyle{x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \  \ (10) }

Τέλος από τις (9) και (10) προκύπτει ότι:

\displaystyle{\frac{y}{x} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \  \  (11)}

Από τις (10), (11) και (4) προκύπτει ότι:

\displaystyle{cos\theta =tan\theta =\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}

Κώστας Δόρτσιος


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2078
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Πέμ Φεβ 14, 2019 11:18 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Με βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .
Και μια άλλη ιδέα πιο γεωμετρική .... και πιο ...σύντομη...
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 2.png
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 2.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές
Σύμφωνα με κάποια στοιχεία της προηγούμενης λύσης

αν φέρουμε την \displaystyle{AH}, η οποία θα είναι η εφαπτομένη

της γωνίας \displaystyle{\theta}, συγκρίνοντας τα τρίγωνα:

\displaystyle{(SOB)} και \displaystyle{(OAH)}

εύκολα δείχνονται ότι αυτά είναι ίσα.

Άρα:

\displaystyle{cos\theta =tan \theta}

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7841
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 15, 2019 1:28 am

Επειδή OB//ST θα είναι \widehat \theta  = \widehat \eta . Αλλά η γωνία \widehat {PBT} = \widehat \omega είναι ίσηε με κάθε εγγεγραμμένη στο τόξο χορδής BP και άρα η επίκεντρη \boxed{\widehat {POB} = 2\widehat \omega }.

Δηλαδή οι ευθείες AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP τέμνονται κάθετα . Αν η OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT τμηθούν στο D

το P είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle BSD και αφού BP διχοτόμος της \widehat {SBT} η \overline {BPM} είναι μεσοκάθετος στο SD και το \vartriangle BSD είναι ισοσκελές.

Θα είναι προφανώς : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat \xi  = \widehat \eta  \hfill \\ 
  PS = PD \hfill \\ 
  BS = BD \hfill \\ 
  OP = OB = ST \hfill \\ 
  \vartriangle SPO \approx \vartriangle TPD \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
ορθογώνιο  σε τεταρτοκύκλιο.png
ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
Από την πιο πάνω ομοιότητα έχω: \dfrac{{PS}}{{PO}} = \dfrac{{PT}}{{PD}} \Rightarrow \dfrac{{PS}}{{ST}} = \dfrac{{PT}}{{PS}} \Rightarrow \boxed{P{S^2} = ST \cdot PT}

Άρα για την κατασκευή αρκεί να διαιρεθεί ( από το J) η ακτίνα OB σε μέσο κι άκρο λόγο

και από το J να φέρω παράλληλη στην OA που τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο P.

Έχω δε : \left\{ \begin{gathered} 
  \tan \theta  = \tan \xi  = \frac{{OB}}{{BD}} \hfill \\ 
  \cos \theta  = \frac{{ST}}{{BS}} = \frac{{OB}}{{BD}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \cos \theta }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 15, 2019 10:01 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (13.87 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές
Από την ανακάλυψη του διμήνου έχει αποδειχθεί ότι \displaystyle OM = \frac{R}{\Phi } (όπου \Phi=\dfrac{\sqrt 5+1}{2})

Γράφω λοιπόν τον κύκλο \displaystyle \left( {O,\frac{R}{\Phi }} \right) και φέρνω από το B την εφαπτομένη του που τέμνει την ακτίνα OA στο ζητούμενο σημείο S.

\displaystyle P{S^2} = PM \cdot R = (R - OM)R = OM(\Phi  - 1)OM \cdot \Phi  = O{M^2}({\Phi ^2} - \Phi ) = O{M^2} \Leftrightarrow \boxed{PS=OM}

\displaystyle \cos \theta  = \frac{{MS}}{{PS}} = \frac{{MS}}{{OM}} = \tan \theta


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2035
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Φεβ 16, 2019 11:44 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .

Έστω \displaystyle OS = x

Στο ημικύκλιο \displaystyle \left( {O,OB} \right) όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα\displaystyle \vartriangle TSB \simeq \vartriangle OPS

\displaystyle \frac{x}{{TS}} = \frac{{OP}}{{BS}} = \frac{{PS}}{{BT}} \Rightarrow \frac{x}{R} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }} \Rightarrow {x^4} + {R^2}{x^2} - {R^4} = 0 \Rightarrow \boxed{x = R\sqrt {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} }

\displaystyle \boxed{\tan \theta  = \frac{{BT}}{{TS}} = \frac{x}{{TS}} = \frac{{OP}}{{BS}} = \frac{{TS}}{{BS}} = \cos \theta }
ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png
ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2061
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 17, 2019 3:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα OS της ακτίνας OA , τεταρτοκυκλίου O\overset{\frown}{AB} , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB , ώστε αν η ST τέμνει το τόξο στο P , η BP να διχοτομεί την \widehat{TBS} .

Συγκρίνατε τώρα την \tan\theta με το \cos\theta .

Για τις γωνίες είναι \hat{BSD}=\theta =\hat{OBS},\hat{DBP}=\hat{PBS}=\omega ,\theta +2\omega =90^{0},

Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο BDS,DP=\dfrac{R.OS}{OS+BS},(1),PS=\dfrac{R.BS}{OS+BS},(2)

\hat{IPS}+\hat{ISP}=2\omega +\theta =90^{0}

Το τετράπλευρο BIPD είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα \hat{IDP}=\hat{PID}=\omega \Leftrightarrow PD=PI



Απο μετρικές σχέσεις στο τριγωνο OSP,PS^{2}=PI.R\Leftrightarrow PS^{2}=PD.R,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow BS^{2}=OS^{2}+BS.OS\Leftrightarrow BS.OS=BS^{2}-OS^{2}\Leftrightarrow OS.BS=R^{2} \Leftrightarrow \dfrac{OS}{R} =\dfrac{R}{BS}\Leftrightarrow tan\theta =cos\theta



Γιάννης
Συνημμένα
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (103.17 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης