Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (9.36 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Με βάση τμήμα

της ακτίνας

, τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

OSTB

, ώστε αν η

τέμνει το τόξο στο

, η

να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Με βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

Θανάση καλησπέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 1.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Χωρίς να στερείται γενικότητας το θέμα μας θεωρούμε ότι:

$\displaystyle{OA=OB=1 \ \ (1)}$

Ακόμα είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι:

$\displaystyle{\hat{POB}=2\phi \ \ (2)}$

κι ακόμα:

$\displaystyle{\hat{SOP}=\theta \ \ (3)}$

Επομένως:

$\displaystyle{cos\theta =x, \ \ tan\theta =\frac{y}{x} \ \ (4)}$

Ακόμα θα είναι:

$\displaystyle{x^2+y^2=1 \ \ (5)}$

Εξάλλου από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $\displaystyle{(BST)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{TP}{SP}=\frac{BT}{SB} \Rightarrow \frac{1-y}{y}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ \ (6)}$

Από την (6) υψώνοντας στο τετράγωνο και από την ιδιότητα των ίσων κλασμάτων, προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{y^2-2y+1}{y^2}=\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{2-2y}{2}=1-y \ \ (7) }$

Από την (7) εξισώνοντας το πρώτο κλάσμα με την τελική τιμή προκύπτει η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{y^2-2y+1}{y^2}=1-y \ \ (8)}$

Λύνοντας την (8) και λαμβάνοντας τη θετική λύση προκύπτει:

$\displaystyle{y =\frac{\sqrt{5}-1}{2} \ \ (9)}$

Με την τιμή αυτή κατασκευάζεται το σχήμα γιατί το τμήμα που ορίζεται από την (9) κατασκευάζεται.

Από την τιμή αυτή και από την (5) βρίσκεται ότι:

$\displaystyle{x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \ \ (10) }$

Τέλος από τις (9) και (10) προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\frac{y}{x} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \ \ (11)}$

Από τις (10), (11) και (4) προκύπτει ότι:

$\displaystyle{cos\theta =tan\theta =\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Με βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

Και μια άλλη ιδέα πιο γεωμετρική .... και πιο ...σύντομη...

: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο 2.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Σύμφωνα με κάποια στοιχεία της προηγούμενης λύσης

αν φέρουμε την $\displaystyle{AH}$ , η οποία θα είναι η εφαπτομένη

της γωνίας $\displaystyle{\theta}$ , συγκρίνοντας τα τρίγωνα:

$\displaystyle{(SOB)}$ και $\displaystyle{(OAH)}$

εύκολα δείχνονται ότι αυτά είναι ίσα.

Άρα:

$\displaystyle{cos\theta =tan \theta}$

Κώστας Δόρτσιος

#4

Επειδή

θα είναι $\widehat \theta = \widehat \eta$ . Αλλά η γωνία $\widehat {PBT} = \widehat \omega$ είναι ίσηε με κάθε εγγεγραμμένη στο τόξο χορδής

και άρα η επίκεντρη $\boxed{\widehat {POB} = 2\widehat \omega }$ .

Δηλαδή οι ευθείες $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP$ τέμνονται κάθετα . Αν η $OP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ τμηθούν στο

το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle BSD$ και αφού

διχοτόμος της $\widehat {SBT}$ η $\overline {BPM}$ είναι μεσοκάθετος στο

και το $\vartriangle BSD$ είναι ισοσκελές.

Θα είναι προφανώς : $\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat \xi = \widehat \eta \hfill \\ PS = PD \hfill \\ BS = BD \hfill \\ OP = OB = ST \hfill \\ \vartriangle SPO \approx \vartriangle TPD \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (22.32 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Από την πιο πάνω ομοιότητα έχω: $\dfrac{{PS}}{{PO}} = \dfrac{{PT}}{{PD}} \Rightarrow \dfrac{{PS}}{{ST}} = \dfrac{{PT}}{{PS}} \Rightarrow \boxed{P{S^2} = ST \cdot PT}$

Άρα για την κατασκευή αρκεί να διαιρεθεί ( από το

) η ακτίνα

σε μέσο κι άκρο λόγο

και από το

να φέρω παράλληλη στην

που τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο

.

Έχω δε : $\left\{ \begin{gathered} \tan \theta = \tan \xi = \frac{{OB}}{{BD}} \hfill \\ \cos \theta = \frac{{ST}}{{BS}} = \frac{{OB}}{{BD}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\tan \theta = \cos \theta }$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (13.87 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

Από την ανακάλυψη του διμήνου έχει αποδειχθεί ότι $\displaystyle OM = \frac{R}{\Phi }$ (όπου $\Phi=\dfrac{\sqrt 5+1}{2}$ )

Γράφω λοιπόν τον κύκλο $\displaystyle \left( {O,\frac{R}{\Phi }} \right)$ και φέρνω από το

την εφαπτομένη του που τέμνει την ακτίνα

στο ζητούμενο σημείο

$\displaystyle P{S^2} = PM \cdot R = (R - OM)R = OM(\Phi - 1)OM \cdot \Phi = O{M^2}({\Phi ^2} - \Phi ) = O{M^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{PS=OM}$

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{MS}}{{PS}} = \frac{{MS}}{{OM}} = \tan \theta$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

Έστω $\displaystyle OS = x$

Στο ημικύκλιο $\displaystyle \left( {O,OB} \right)$ όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα $\displaystyle \vartriangle TSB \simeq \vartriangle OPS$

$\displaystyle \frac{x}{{TS}} = \frac{{OP}}{{BS}} = \frac{{PS}}{{BT}} \Rightarrow \frac{x}{R} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }} \Rightarrow {x^4} + {R^2}{x^2} - {R^4} = 0 \Rightarrow \boxed{x = R\sqrt {\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} }$

$\displaystyle \boxed{\tan \theta = \frac{{BT}}{{TS}} = \frac{x}{{TS}} = \frac{{OP}}{{BS}} = \frac{{TS}}{{BS}} = \cos \theta }$

: ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.png (14.19 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 14, 2019 8:34 pm
Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο.pngΜε βάση τμήμα της ακτίνας , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σχεδιάστε ορθογώνιο

, ώστε αν η τέμνει το τόξο στο , η να διχοτομεί την $\widehat{TBS}$ .

Συγκρίνατε τώρα την $\tan\theta$ με το $\cos\theta$ .

Για τις γωνίες είναι $\hat{BSD}=\theta =\hat{OBS},\hat{DBP}=\hat{PBS}=\omega ,\theta +2\omega =90^{0},$

Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $BDS,DP=\dfrac{R.OS}{OS+BS},(1),PS=\dfrac{R.BS}{OS+BS},(2)$

$\hat{IPS}+\hat{ISP}=2\omega +\theta =90^{0}$

Το τετράπλευρο BIPD

είναι εγράψιμο σε κύκλο άρα $\hat{IDP}=\hat{PID}=\omega \Leftrightarrow PD=PI$

Απο μετρικές σχέσεις στο τριγωνο $OSP,PS^{2}=PI.R\Leftrightarrow PS^{2}=PD.R,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow BS^{2}=OS^{2}+BS.OS\Leftrightarrow BS.OS=BS^{2}-OS^{2}\Leftrightarrow OS.BS=R^{2} \Leftrightarrow \dfrac{OS}{R} =\dfrac{R}{BS}\Leftrightarrow tan\theta =cos\theta$

Γιάννης

Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Re: Ορθογώνιο σε τεταρτοκύκλιο

Μέλη σε σύνδεση