Τομή επί του κύκλου

KARKAR · #1

: Τομή επί του κύκλου.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Σε κύκλο

θεωρούμε οριζόντια χορδή

του νοτίου ημικυκλίου , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα BC=AB

. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στο σημείο

και στον βόρειο πόλο

τέμνονται στο

. Ονομάζω

την τομή των AS , NC

.

α) Δείξτε ότι το

είναι σημείο του κύκλου ... β) Αν AB=6 , NS=15

, υπολογίστε την

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 07, 2019 8:37 pm
Τομή επί του κύκλου.pngΣε κύκλο θεωρούμε οριζόντια χορδή του νοτίου ημικυκλίου , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα . Οι εφαπτόμενες του κύκλου στο σημείο

και στον βόρειο πόλο τέμνονται στο . Ονομάζω την τομή των .

α) Δείξτε ότι το είναι σημείο του κύκλου ... β) Αν , υπολογίστε την .

Επειδή $\widehat {{\phi _1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\phi _2}}\,$ είναι παραπληρώματα των ίσων γωνιών $\widehat {{\theta _1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _2}}\,$ του ισοσκελούς $\vartriangle NAB$ θα είναι : $\boxed{\widehat {{\phi _1}}\, = \widehat {{\phi _2}}\,}$ Τα τρίγωνα έτσι $TNB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BNC$ θα είναι

Όμοια άρα : $\boxed{\frac{{TN}}{{BN}} = \frac{{TB}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{TN}}{{NA}} = \frac{{TB}}{{AB}} \Leftrightarrow TN \cdot AB = TB \cdot NA}$

: Επι του κύκλου.png (27.58 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ABTN

είναι αρμονικό άρα η διαγώνιος

του

θα διέρχεται από το

.

Από την προφανή ομοιότητα $\vartriangle NAB \approx \vartriangle SNB$ έχω $NA = 3\sqrt {10}$ . Αν

ο νότιος πόλος και η

κόψει την

στο

( μέσο του AB)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $MAN\,\,(\widehat {MAN} = 90^\circ )$ που γνωρίζουμε την κάθετη πλευρά

$AN = 3\sqrt {10}$ και το ύψος προς την υποτείνουσα AE = 3

βρίσκουμε ( διάφοροι τρόποι ) $MN = 2r = 10 \Rightarrow \boxed{r = 5}$ .

#3

Αλλιώς για το β) ερώτημα.

: Τομή επί του κύκλου.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} ST \cdot SA = {15^2}\\ \\ \dfrac{{ST}}{{TA}} = \dfrac{{NS}}{{AC}} = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{ST}}{{SA}} = \dfrac{5}{9} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes$ $\boxed{ST^2=125}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} CT \cdot CN = CB \cdot CA = 72\\ \\ \dfrac{{CT}}{{TN}} = \dfrac{{AC}}{{NS}} = \dfrac{4}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{CT}}{{CN}} = \dfrac{4}{9} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes CT = 4\sqrt 2$ και $\boxed{NT=5\sqrt 2}}$

Με νόμο συνημιτόνων στο NTS

βρίσκω $T\widehat NS=45^\circ,$ άρα το OTN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $\boxed{r=5}$

Τομή επί του κύκλου

Τομή επί του κύκλου

Re: Τομή επί του κύκλου

Re: Τομή επί του κύκλου

Μέλη σε σύνδεση