Σταθερός λόγος εμβαδών

[KARKAR]

Σταθερός λόγος εμβαδών.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Στο τετράπλευρο η διαγώνιος διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου .

Από σημείο , το οποίο κινείται επί της , φέρω την , η οποία τέμνει την

στο σημείο . Οι τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος παραμένει σταθερός .

[george visvikis]

Σταθερός λόγος εμβαδών.pngΣτο τετράπλευρο η διαγώνιος διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου .

Από σημείο , το οποίο κινείται επί της , φέρω την , η οποία τέμνει την

στο σημείο . Οι τέμνουν την στα σημεία αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος παραμένει σταθερός .

Σταθερός λόγος εμβαδών..png (38.76 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης Παρασκευή, 8 Φεβ. 8:30 am

[Doloros]

Ας είναι οι τομές των με τις . Τότε από το Θ. του Πάππου τα σημεία ανήκουν σε μια ευθεία , έστω

Ας είναι οι τομές των με . Και η τομή της με τη

Επειδή οι τετράδες : είναι

Αρμονικές, και ό λόγος αρμονικότητας είναι σταθερός θα είναι :

Σταθερός λόγος εμβαδών.png (34.56 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

. Αν το σημείο τομής των επειδή το είναι μέσο του θα είναι και το μέσο του .

( Η ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και το σημείο τομής των διαγώνιων του)

Οπότε για τον ίδιο λόγο το είναι μέσο του .

Τα τρίγωνα έχουν έτσι τις βάσεις τους άρα λόγο εμβαδών όσο με το λόγο των αντιστοίχων υψών που προφανώς ισούται με το λόγο

σταθερός


Παρατήρηση :

Ανεξαρτήτως αν το είναι ή όχι μέσο της διαγωνίου ισχύουν τα παρακάτω :

Αν η κόψει την στο σημείο , τότε η πολική του ως προς τις ευθείες είναι η δηλαδή η .

Τώρα όμως η πολική του ως προς τις ευθείες είναι η κι επειδή

οι ευθείες διασταυρώνονται στο σημείο της η ευθεία διέρχεται από το

Λήμμα στη σταθερότητα εμβαδών.png (35.36 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Παρατηρούμε τώρα ότι για τα τρίγωνα σύμφωνα με το Θ.

Οι πλευρές τέμνονται στο , οι πλευρές τέμνονται στο , οι πλευρές τέμνονται στο και τα τρία αυτά σημεία ( )

Ανήκουν στη ίδια ευθεία , συνεπώς οι ευθείες θα συντρέχουν δηλαδή η διέρχεται από το .

Από εδώ και μετά όμως για να προκύψει η ζητούμενη σταθερότητα εμβαδών αναγκαστικά το είναι μέσο του .