Σταθερός λόγος εμβαδών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερός λόγος εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 06, 2019 8:40 pm

Σταθερός  λόγος εμβαδών.png
Σταθερός λόγος εμβαδών.png (16.43 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD η διαγώνιος BD διέρχεται από το μέσο O της διαγωνίου AC .

Από σημείο S , το οποίο κινείται επί της AB , φέρω την SO , η οποία τέμνει την CD

στο σημείο P . Οι BP , DS τέμνουν την AC στα σημεία T , Q αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{(BCT)}{(AQD)} παραμένει σταθερός .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερός λόγος εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 07, 2019 12:34 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 06, 2019 8:40 pm
Σταθερός λόγος εμβαδών.pngΣτο τετράπλευρο ABCD η διαγώνιος BD διέρχεται από το μέσο O της διαγωνίου AC .

Από σημείο S , το οποίο κινείται επί της AB , φέρω την SO , η οποία τέμνει την CD

στο σημείο P . Οι BP , DS τέμνουν την AC στα σημεία T , Q αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{(BCT)}{(AQD)} παραμένει σταθερός .
Σταθερός λόγος εμβαδών..png
Σταθερός λόγος εμβαδών..png (38.76 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
\dfrac{(BCT)}{(AQD)}=\dfrac{OB}{OD}=ct


Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης Παρασκευή, 8 Φεβ. 8:30 am


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7841
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερός λόγος εμβαδών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Φεβ 07, 2019 5:13 pm

Ας είναι K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L οι τομές των AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ με τις BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD. Τότε από το Θ. του Πάππου τα σημεία K,O,L ανήκουν σε μια ευθεία , έστω {g_1}

Ας είναι E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z οι τομές των {g_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PO με BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BK. Και G η τομή της CE\,\, με τη BO

Επειδή οι τετράδες : (B,T\backslash E,P)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(B,Q\backslash Z,K)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(B,O\backslash G,D)\, είναι

Αρμονικές, και ό λόγος αρμονικότητας είναι \boxed{\frac{{GO}}{{GB}} = \frac{{DO}}{{DB}}} σταθερός θα είναι :
Σταθερός λόγος εμβαδών.png
Σταθερός λόγος εμβαδών.png (34.56 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

EZ//QT//KP . Αν M το σημείο τομής των OD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KP επειδή το O είναι μέσο του AC θα είναι και το M μέσο του KP.

( Η ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεων τραπεζίου διέρχεται από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και το σημείο τομής των διαγώνιων του)

Οπότε για τον ίδιο λόγο το O είναι μέσο του QT.

Τα τρίγωνα BTC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DQA έχουν έτσι τις βάσεις τους TC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QA άρα λόγο εμβαδών όσο με το λόγο των αντιστοίχων υψών που προφανώς ισούται με το λόγο

\boxed{k = \frac{{OB}}{{OD}}} σταθερός


Παρατήρηση :


Ανεξαρτήτως αν το O είναι ή όχι μέσο της διαγωνίου AC ισχύουν τα παρακάτω :

Αν η KS κόψει την DB στο σημείο F, τότε η πολική του F ως προς τις ευθείες AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD είναι η AO δηλαδή η AC.

Τώρα όμως η πολική του F ως προς τις ευθείες CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD είναι η CO κι επειδή

οι ευθείες BP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DL διασταυρώνονται στο T σημείο της CO η ευθεία LP διέρχεται από το F
Λήμμα στη σταθερότητα εμβαδών.png
Λήμμα στη σταθερότητα εμβαδών.png (35.36 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Παρατηρούμε τώρα ότι για τα τρίγωνα CLP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AKS σύμφωνα με το Θ. Dejark

Οι πλευρές LP\,,\,SK τέμνονται στο F, οι πλευρές CL,AS τέμνονται στο B, οι πλευρές LP\,,\,AK τέμνονται στο D και τα τρία αυτά σημεία ( F,B,D)

Ανήκουν στη ίδια ευθεία , συνεπώς οι ευθείες CA\,\,,\,\,PS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LK θα συντρέχουν δηλαδή η LK διέρχεται από το O.

Από εδώ και μετά όμως για να προκύψει η ζητούμενη σταθερότητα εμβαδών αναγκαστικά το O είναι μέσο του AC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες