Κατασκευή και υπολογισμοί

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή και υπολογισμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 03, 2019 3:05 pm

Κατασκευή και υπολογισμοί.png
Κατασκευή και υπολογισμοί.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Με κέντρο το μέσο M της υποτείνουσας BC=a ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC γράφουμε κύκλο που εφάπτεται

της AB στο N. Από σημείο S στην προέκταση του NM φέρνουμε την SB που τέμνει τον κύκλο στα P, Q (το P ανάμεσα στα

Q, S) και έστω T το δεύτερο κοινό σημείο του AQ με τον κύκλο.

α) Να εντοπίσετε τη θέση του S ώστε το P να είναι μέσο του SB.

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων QT, CP συναρτήσει του a (Η θέση του S είναι ίδια και στα δύο ερωτήματα).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή και υπολογισμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 04, 2019 12:39 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 03, 2019 3:05 pm
Κατασκευή και υπολογισμοί.png
Με κέντρο το μέσο M της υποτείνουσας BC=a ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC γράφουμε κύκλο που εφάπτεται

της AB στο N. Από σημείο S στην προέκταση του NM φέρνουμε την SB που τέμνει τον κύκλο στα P, Q (το P ανάμεσα στα

Q, S) και έστω T το δεύτερο κοινό σημείο του AQ με τον κύκλο.

α) Να εντοπίσετε τη θέση του S ώστε το P να είναι μέσο του SB.

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων QT, CP συναρτήσει του a (Η θέση του S είναι ίδια και στα δύο ερωτήματα).
a) Επειδή τα M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P\,μέσα των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS \Rightarrow CS// = 2MP = 2R. Αρκεί να γράψω κύκλο , (C,2R) και τέμνει την ημιευθεία NM στο S.

b) Αν E το αντιδιαμετρικό του N επειδή ME// = \dfrac{1}{2}AC = R το CE είναι εφαπτόμενο τμήμα στο κύκλο .

Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ECS Το CS = 2R = 2CE \Rightarrow \vartriangle ECS \to (90^\circ ,60^\circ ,30^\circ )

Στο ισοσκελές τρίγωνο CAS\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\widehat {ACS} = 150^\circ θα είναι οι γωνίες της βάσης του AS από 15^\circ κάθε μια , έτσι : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = 15^\circ \,\,\,(NS//AC)\,\,

και λόγω συμμετρίας ως προς την NS, \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} = 15^\circ .

Αφού τώρα MP//CS \Rightarrow \widehat {SMP} = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {{\omega _1}} = 30^\circ  + 15^\circ  = 45^\circ .
Κατασκευή και  Υπολογισμοί_Βισβίκη.png
Κατασκευή και Υπολογισμοί_Βισβίκη.png (51.93 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Το ισοσκελές τρίγωνο MQP\,\,(MP = MQ = R) θα είναι και ορθογώνιο , οπότε

\widehat {{\omega _2}} = \widehat {MAB} = 45^\circ με συνέπεια το τετράπλευρο AMQB να είναι εγγράψιμο , οπότε

\widehat {BQA} = \widehat {BMA} = 90^\circ και άρα το T αντιδιαμετρικό του P. Έτσι \boxed{QT = R\sqrt 2  = \frac{{AC\sqrt 2 }}{2}}.

Στο \vartriangle CBS με γωνία \widehat {CBS} = 105^\circ από Θ. συνημίτονου : B{S^2} = {R^2}(4\sqrt 3  + 8) και μετά στο ίδιο τρίγωνο από πρώτο θεώρημα διαμέσων :

\boxed{CP = R\sqrt {4 - \sqrt 3 }  = \frac{{AC\sqrt {4 - \sqrt 3 } }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης