Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10644
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Φεβ 02, 2019 8:31 am

Εκπληκτικό  ορθογώνιο.png
Εκπληκτικό ορθογώνιο.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( c<b<a ) , είναι : \dfrac{a}{c}=\phi . Δείξτε ότι το ύψος AD ,

η διχοτόμος BE και η διάμεσος CM , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον υπολογίστε

τον λόγο : \dfrac{BS}{SE} . Σημείωση : Πρόκειται για προϊόν αυτής αλλά εδώ ζητείται αυτόνομη λύση !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8144
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εκπληκτικό ορθογώνιο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 02, 2019 9:05 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Φεβ 02, 2019 8:31 am
Εκπληκτικό ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( c<b<a ) , είναι : \dfrac{a}{c}=\phi . Δείξτε ότι το ύψος AD ,

η διχοτόμος BE και η διάμεσος CM , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον υπολογίστε

τον λόγο : \dfrac{BS}{SE} . Σημείωση : Πρόκειται για προϊόν αυτής αλλά εδώ ζητείται αυτόνομη λύση !
Εκπληκτικό ορθ. τρίγωνο.png
Εκπληκτικό ορθ. τρίγωνο.png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
\displaystyle {b^2} = {a^2} - {c^2} = {c^2}({\phi ^2} - 1) = {c^2}\phi  \Leftrightarrow b = c\sqrt \phi

\displaystyle \frac{{BD}}{{CD}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} \cdot \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} \cdot \frac{a}{c} = \frac{{{c^2}\phi }}{{{c^2}\phi }} = 1 και το ζητούμενο έπεται.

Από Van Aubel, \displaystyle \frac{{BS}}{{SE}} = \frac{{BM}}{{MA}} + \frac{{BD}}{{DC}} = 1 + \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = 1 + \frac{1}{\phi } \Leftrightarrow \boxed{\frac{{BS}}{{SE}} = \phi }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες