Μεγαλύτερο έως διπλάσιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10644
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγαλύτερο έως διπλάσιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 01, 2019 8:54 pm

Μεγαλύτερο έως διπλάσιο.png
Μεγαλύτερο έως διπλάσιο.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Η παρακάτω άσκηση ανήκει στην κατηγορία : "Όταν δεν έχεις έμπνευση , δώσε μιαν υπολογιστική " !

Λοιπόν , στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , η διχοτόμος BD , τέμνει τη διάμεσο CM στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι : (SDC)>(SBM) ...β) Βρείτε το λόγο \dfrac{c}{b} , ώστε : (SDC)=2(SBM) .

γ) Ελέγξτε αν στην περίπτωση β) , το ύψος προς την υποτείνουσα AH , διέρχεται από το S :idea:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μεγαλύτερο έως διπλάσιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Φεβ 01, 2019 11:46 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Φεβ 01, 2019 8:54 pm
Μεγαλύτερο έως διπλάσιο.png
Η παρακάτω άσκηση ανήκει στην κατηγορία : "Όταν δεν έχεις έμπνευση , δώσε μιαν υπολογιστική " !

Λοιπόν , στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , η διχοτόμος BD , τέμνει τη διάμεσο CM στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι : (SDC)>(SBM) ...β) Βρείτε το λόγο \dfrac{c}{b} , ώστε : (SDC)=2(SBM) .

γ) Ελέγξτε αν στην περίπτωση β) , το ύψος προς την υποτείνουσα AH , διέρχεται από το S :idea:
Καλησπέρα.

α) Φέρνουμε AP,DQ \perp MC.

Έχουμε ότι MB=MA \Rightarrow (MSB)=(MSA).

Είναι, T=\dfrac{(SDC)}{(SMB)}=\dfrac{(SDC)}{(SMA)}=\dfrac{SC \cdot DQ}{SM \cdot AP}.

Από Θ. Μενελάου και Θ. Διχοτόμου, είναι \dfrac{SM}{SC} \cdot \dfrac{DC}{DA} \cdot \dfrac{BA}{BM}=1 \Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{c}{2a}.

Επίσης, \dfrac{DQ}{AP}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{a}{a+c}.

Οπότε, T=\dfrac{2a^2}{c(a+c)}, με c<a, οπότε T=\dfrac{2a^2}{ca+c^2} >1.

(β) Θέλουμε, T=2 \Rightarrow a^2=ca+c^2 \Rightarrow a=c\phi \Rightarrow b^2=a^2-c^2=c^2\phi \Rightarrow \dfrac{b}{c}=\sqrt{\phi}.

(γ) Από αντίστροφο Θ. Ceva, αρκεί \dfrac{HB}{HC} \cdot \dfrac{MA}{MB} \cdot \dfrac{DC}{DA}=1.

Όμως, (μετρικές σχέσεις), \dfrac{HB}{HC}=\dfrac{c^2}{b^2}, MA=MB και \dfrac{DC}{DA}=\dfrac{a}{c}.

Αρκεί λοιπόν μετά τις αντικαταστάσεις b^2=ac, που ισχύει διότι ca=a^2-c^2=b^2 (από Π.Θ.)


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6560
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγαλύτερο έως διπλάσιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 02, 2019 12:58 am

Πολύ ωραία η λύση του Ορέστη

Τα δύο πρώτα αλλιώς

a) Αρκεί AD \cdot c > AM \cdot b \Leftrightarrow \dfrac{{bc}}{{a + c}}c > \dfrac{{bc}}{2} \Leftrightarrow a > c αληθής

b) πρέπει : (ABD) = (ASC) Φέρνω ευθεία παράλληλη στηνAB δια του S που τέμνει τις AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L . Θα είναι : \boxed{KS = SL = LB = x} .
μεγαλύτερο έως διπλάσιο.png
μεγαλύτερο έως διπλάσιο.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Έτσι η προηγούμενη δίδει: \left\{ \begin{gathered} 
  c\frac{{bc}}{{a + c}} = bx \hfill \\ 
  \frac{{KL}}{{AB}} = \frac{{CL}}{{CB}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{{c^2}}}{{a + c}} \hfill \\ 
  \frac{{2x}}{c} = \frac{{a - x}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{{c^2}}}{{a + c}} \hfill \\ 
  x = \frac{{ac}}{{2a + c}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θέτω : a = yc και εξισώνω τα δεύτερα μέλη με αποτέλεσμα : a = \varphi c\,\,\,,\,\boxed{\varphi  = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}

Επί της ουσίας έχω βρει, \boxed{\sin C = \frac{1}{\varphi }} και υπολογίζω \boxed{\tan C = \dfrac{c}{b} = \sqrt {\dfrac{1}{\varphi }} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης