Γωνία και τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γωνία και τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 30, 2019 2:15 pm

Γωνία και τμήμα..png
Γωνία και τμήμα..png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος η BH διχοτομεί τη γωνία \widehat B και A\widehat HC=90^\circ. Να υπολογίσετε:

α) τη γωνία \widehat B .......................... β) το τμήμα AH=x συναρτήσει της πλευράς BC=a.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 847
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνία και τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιαν 30, 2019 4:49 pm

Καλησπέρα

α)
\widehat{B}=180-\widehat{A}-\widehat{C}=180-\left ( 30+\widehat{HAC} \right )-\left ( 15+\widehat{HCA} \right )=135-\left ( \widehat{HAC}+\widehat{HCA} \right )=135-90=...=45^{\circ}
β)
Νόμος ημιτόνων στο BAH
\dfrac{x}{\eta \mu 22.5}=\dfrac{BH}{\eta \mu 30}\Leftrightarrow x=2\eta \mu 22.5BH
Νόμος ημιτόνων στο BHC
\dfrac{BH}{\eta \mu 15}= \dfrac{a}{\eta \mu 142.5}\Leftrightarrow BH=\dfrac{a\eta \mu 15}{\eta \mu 142.5}
Άρα x=2\eta \mu 22.5\cdot \dfrac{a\cdot \eta \mu 15}{\eta \mu 142.5}
Για να βρω την ακριβή τιμή:

Σχεδιάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC(A ορθή) με C=30^{\circ} και φέρουμε διχοτόμο CK .Από θεώρημα διχοτόμων και αντικαταστάσεις πέρνουμε \eta \mu 15=\dfrac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Κάνουμε το ίδιο και για την 45 και βρίσκουμε \eta \mu 22,5=\dfrac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}
Μετά παρατηρούμε ότι 142,5+15+22,5=180
και κατασκευάζουμε τρίγωνο KLM με \widehat{K}=22.5^{\circ},\widehat{L}=142.5^{\circ},\widehat{M}=15^{\circ} και ύψος LT=1.Βρίσκουμε ότι
\eta \mu 142,5=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{4+2\sqrt{2}}}
και με αντικατάσταση στον τύπο παίρνουμε
x=\dfrac{2a}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Πέμ Ιαν 31, 2019 10:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία και τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 30, 2019 9:37 pm

α) \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {EHA} = 30^\circ  + \widehat \omega  \hfill \\ 
  \widehat {CHE} = 15^\circ  + \widehat \omega  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. προσθέτω κι έχω: 90^\circ  = 45^\circ  + 2\widehat \omega  \Rightarrow \boxed{\widehat {ABC} = 2\widehat \omega  = 45^\circ }

β) Προεκτείνω τη CH μέχρι να κόψει την ABστο D.

Προφανώς το \vartriangle DBC \to (120^\circ ,\,\,45^\circ ,\,\,15^\circ ). Γράφω το περίκυκλο του \vartriangle DBC και έστω K το κέντρο του και R η ακτίνα του . Επειδή το τρίγωνο SBC είναι ισόπλευρο

BC = a = R\sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}} εκφράζω τώρα τα και μήκη :

DC,\,\,DB = u\,\,,\,\,DH = v,\,\,AH = x ως συνάρτηση του R και έχω :
Γωνία και  τμήμα.png
Γωνία και τμήμα.png (45.7 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  a = R\sqrt 3  \hfill \\ 
  DC = R\sqrt 2 \,\,\widehat {(DKC} = 2 \cdot 45^\circ  = 90^\circ ) \hfill \\ 
  \frac{u}{{\sin 15^\circ }} = \frac{a}{{\sin 120^\circ }} \hfill \\ 
  v = \frac{{DC \cdot u}}{{a + u}}\,\,(\,\,\theta .\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon ) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  a = R\sqrt 3  \hfill \\ 
  DC = R\sqrt 2 \, \hfill \\ 
  u = R\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2} \hfill \\ 
  x = v\sqrt 3  = R\left( {6 - 3\sqrt 3  + \frac{{5\sqrt 6 }}{2} - \frac{{9\sqrt 2 }}{2}} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

ή τελικά ως έκφραση του a και είναι : \boxed{x = a\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2} + 2\sqrt 3  - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 3} \right)}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Φεβ 01, 2019 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία και τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 01, 2019 7:41 pm

Ας δούμε διαφορετικά το β) ερώτημα. Η AH τέμνει τη BC στο P και έστω M το μέσο του PC.
Γωνία και τμήμα.β.png
Γωνία και τμήμα.β.png (18.65 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
H\widehat MP=30^\circ και HM=MP=MC=x. Με νόμο συνημιτόνων στο HMP, είναι \displaystyle HP = \frac{{x(\sqrt 3  - 1)}}{{\sqrt 2 }}

Θ.διχοτόμου στο BAP, \displaystyle \frac{{x(\sqrt 3  - 1)}}{{x\sqrt 2 }} = \frac{{a - 2x}}{{a - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{a(\sqrt 2  - \sqrt 3  + 1)}}{{2\sqrt 2  - \sqrt 3  + 1}} και με ρητοποίηση του παρονομαστή

\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {5\sqrt 2  + 4\sqrt 3  - 3\sqrt 6  - 6} \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης