mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm**

: Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Στο εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι AB=2AC

. Η εφαπτομένη στο

, τέμνει την

στο σημείο

, από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα

. Δείξτε ότι : $TS \parallel BC$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 25, 2019 11:01 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την

στο σημείο , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $TS \parallel BC$ .

Νομίζω ότι το πρόβλημα έχει ξανατεθεί στο

και μάλιστα από τον ίδιο εισηγητή. Υπάρχει και στοιχειώδης λύση . Ας το προσπαθήσουν και άλλοι συνάδελφοι και φίλοι και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 25, 2019 11:11 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την

στο σημείο , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $TS \parallel BC$ .

: ΤΟ Διπλάσιο φέρνει παραλληλία.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Το τετράπλευρο ACBT

είναι αρμονικό άρα : $AC \cdot BT = BC \cdot AT$ .

Από το πρώτο Θ. Πτολεμαίου :

$TC \cdot AB = AC \cdot BT + BC \cdot AT \Rightarrow TC \cdot 2AC = 2AC \cdot BT$ .

Άρα : $TB = TC \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Rightarrow ST//BC$

Αρχηγού παρόντος πάσα αρχή παυσάτω

Όταν ανέβασα τη λύση και βλέπω το "Βαρύ" όνομα Στάθης λέω ο "άνεμος" θα με παρασύρει.Αλλά ο Αίολος δεν θέλησε απόψε να ανοίξει τον ασκό !

Γειά σου Στάθη με χαρά σε βλέπω πιο συχνά πάλι στο

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 26, 2019 2:00 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την

στο σημείο , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $TS \parallel BC$ .

Έστω $\displaystyle O$ κέντρο του κύκλου $\displaystyle \left( {A,B,C} \right)$ και $\displaystyle M$ μέσον του $\displaystyle AB$ .Τότε, $\displaystyle OM \bot AB$

Επομένως ο περίκυκλος του $\displaystyle STOC$ περνά από το $\displaystyle M$ και $\displaystyle \angle ACM = \angle CMS = \angle CTS = x + y$

Άρα $\displaystyle \angle MCB = x$ και $\displaystyle \angle TCM = y$ .Έτσι, $\displaystyle \angle STC = \angle TCB = x + y \Rightarrow BC//TS$

: διπλάσιο και παραλληλία.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 26, 2019 12:02 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι . Η εφαπτομένη στο , τέμνει την

στο σημείο , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι : $TS \parallel BC$ .

Έστω

το μέσο της TC.

: Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Επειδή η

είναι

συμμετροδιάμεσος του TBC

τα τρίγωνα TBM, ABC

θα είναι ισογώνια

$\displaystyle \frac{{TM}}{{AC}} = \frac{{TB}}{{AB}} \Leftrightarrow TB = 2TM = TC \Rightarrow B\widehat CT =C\widehat BT= C\widehat TS \Leftrightarrow$ $\boxed{TS \parallel BC}$

Από την παραλληλία προκύπτει $\displaystyle \theta = \omega .$ Να παρατηρήσω λοιπόν, ότι το είναι το σημείο Brocard του τριγώνου

mathematica.gr

Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία