Διπλάσιο παράγει παραλληλία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσιο παράγει παραλληλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm

Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές
Στο εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC . Η εφαπτομένη στο C , τέμνει την BA

στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST . Δείξτε ότι : TS \parallel BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Ιαν 25, 2019 11:01 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC . Η εφαπτομένη στο C , τέμνει την BA

στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST . Δείξτε ότι : TS \parallel BC .
Νομίζω ότι το πρόβλημα έχει ξανατεθεί στο :logo: και μάλιστα από τον ίδιο εισηγητή. Υπάρχει και στοιχειώδης λύση . Ας το προσπαθήσουν και άλλοι συνάδελφοι και φίλοι και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 25, 2019 11:11 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC . Η εφαπτομένη στο C , τέμνει την BA

στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST . Δείξτε ότι : TS \parallel BC .
ΤΟ Διπλάσιο φέρνει παραλληλία.png
ΤΟ Διπλάσιο φέρνει παραλληλία.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές
Το τετράπλευρο ACBT είναι αρμονικό άρα : AC \cdot BT = BC \cdot AT.

Από το πρώτο Θ. Πτολεμαίου :

TC \cdot AB = AC \cdot BT + BC \cdot AT \Rightarrow TC \cdot 2AC = 2AC \cdot BT.

Άρα : TB = TC \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \Rightarrow ST//BC


Αρχηγού παρόντος πάσα αρχή παυσάτω

Όταν ανέβασα τη λύση και βλέπω το "Βαρύ" όνομα Στάθης λέω ο "άνεμος" θα με παρασύρει.Αλλά ο Αίολος δεν θέλησε απόψε να ανοίξει τον ασκό !

Γειά σου Στάθη με χαρά σε βλέπω πιο συχνά πάλι στο :logo:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 26, 2019 2:00 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC . Η εφαπτομένη στο C , τέμνει την BA

στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST . Δείξτε ότι : TS \parallel BC .

Έστω \displaystyle O κέντρο του κύκλου \displaystyle \left( {A,B,C} \right) και \displaystyle M μέσον του \displaystyle AB.Τότε, \displaystyle OM \bot AB

Επομένως ο περίκυκλος του \displaystyle STOC περνά από το \displaystyle M και \displaystyle \angle ACM = \angle CMS = \angle CTS = x + y

Άρα \displaystyle \angle MCB = x και \displaystyle \angle TCM = y.Έτσι, \displaystyle \angle STC = \angle TCB = x + y \Rightarrow BC//TS
διπλάσιο και παραλληλία.png
διπλάσιο και παραλληλία.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο παράγει παραλληλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 26, 2019 12:02 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 25, 2019 8:56 pm
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.pngΣτο εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC . Η εφαπτομένη στο C , τέμνει την BA

στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST . Δείξτε ότι : TS \parallel BC .
Έστω M το μέσο της TC.
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png
Διπλάσιο παράγει παραλληλία.png (20.87 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές
Επειδή η BE είναι B-συμμετροδιάμεσος του TBC τα τρίγωνα TBM, ABC θα είναι ισογώνια

\displaystyle \frac{{TM}}{{AC}} = \frac{{TB}}{{AB}} \Leftrightarrow TB = 2TM = TC \Rightarrow B\widehat CT =C\widehat BT= C\widehat TS \Leftrightarrow \boxed{TS \parallel BC}

Από την παραλληλία προκύπτει \displaystyle \theta  = \omega . Να παρατηρήσω λοιπόν, ότι το A είναι το σημείο Brocard του τριγώνου TCS


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης