Συντρέχεια στο μέσον

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Συντρέχεια στο μέσον

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Ιαν 22, 2019 10:41 pm

GEOMETRIA220-FB2707.jpg
GEOMETRIA220-FB2707.jpg (35.3 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές
Εστω D τυχαίο σημείο της βάσης BC τριγώνου ABC.

Επι των πλευρών AB, AC "παίρνουμε" σημεία Q, P αντίστοιχα, ώστε BQ=DC και CP=BD.

Αν M, N, K, L είναι τα μέσα των τμημάτων BD, QC, DC, BP αντίστοιχα,

δείξτε ότι τα MN, KL συντρέχουν στο μέσον T του ID, όπου I το έκκεντρο του ABC


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συντρέχεια στο μέσον

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιαν 23, 2019 2:38 pm

Μιας και δεν απαντήθηκε:

Θα αποδείξουμε πως η MN διέρχεται από το μέσο του ID, το T. Όμοια θα διέρχεται από το T και η KL.

Παρατηρούμε πως MT//BI.

Θα δείξουμε MN//BI.

Έστω πως η MN τέμνει την AB στο J.

Από το Θεώρημα Μενελάου στο BCQ συμπεραίνουμε ότι:

\dfrac{CN}{NQ}\cdot\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{JQ}{JB}=1\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{MC}{JQ}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{MD+DC}{JB+BQ}\Leftrightarrow \dfrac{BM}{JB}=\dfrac{BM+DC}{JB+DC}=\dfrac{BM+DC-BM}{JB+DC-JB}=1.

Άρα BM=JB, άρα αφού το τρίγωνο JBM είναι ισοσκελές προκύπτει ότι η JM είναι παράλληλη με την εξωτερική διχοτόμο BI. Με άλλα λόγια MN//BI και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης