Ακριβώς στη μέση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακριβώς στη μέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 19, 2019 8:38 am

Κυνηγώντας  το  μέσο.png
Κυνηγώντας το μέσο.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές
Στην προέκταση της ακτίνας OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset\frown{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η κάθετη από το O προς την BS τέμνει το τόξο στο σημείο C , ενώ το τμήμα CA

τέμνει την BS στο σημείο T . Πόσο πρέπει να πάρουμε το τμήμα AS , ώστε η OT

να είναι η διχοτόμος της \widehat{AOC} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακριβώς στη μέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:01 pm

Στο ημικύκλιο διαμέτρου OA ( που είναι μέσα στο τεταρτοκύκλιο) Φέρνω απο το B εφαπτομένη ευθεία που τέμνει την ευθεία OA στο ζητούμενο σημείο S

Μετά το τέλος του διαγωνισμού της Ε. Μ. Ε. ( που έχω την ευθύνη για το Ν. Λασιθιου)θα γράψω τα υπόλοιπα .


Altrian
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ακριβώς στη μέση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιαν 19, 2019 1:41 pm

Εστω M το μέσο της OA. Εχουμε: \angle BOT=90-w=\angle TAO = \angle BTO=\angle MTA. Αρα \bigtriangleup MTA\approx \bigtriangleup BOT\Rightarrow BT=r\Rightarrow OT=2AT.
\bigtriangleup OTS\approx \bigtriangleup TAS\Rightarrow x/b=TS/OT=TS/2b\Rightarrow TS=2x
ST^{2}=AS*OS\Rightarrow 4x^{2}=x(r+x)\Rightarrow
\large x=r/3

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
akribos_sti_mesi.png
akribos_sti_mesi.png (50.48 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ακριβώς στη μέση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Ιαν 19, 2019 3:25 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 8:38 am
Κυνηγώντας το μέσο.pngΣτην προέκταση της ακτίνας OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset\frown{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η κάθετη από το O προς την BS τέμνει το τόξο στο σημείο C , ενώ το τμήμα CA

τέμνει την BS στο σημείο T . Πόσο πρέπει να πάρουμε το τμήμα AS , ώστε η OT

να είναι η διχοτόμος της \widehat{AOC} ;

Καλημέρα Θανάση και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΜΕ ΥΓΕΙΑ

Για τις γωνίες στο ορθογώνιο τρίγωνο OBS,\hat{NOS}=\hat{B}=2\omega ,\hat{S}=90-2\omega
 ,
\hat{COT}=\hat{TOA}=\omega ,\hat{BTO}=90-\omega =\hat{BOT},OB=BT=r,\hat{ATS}=\omega 

       =\hat{BTC}=\hat{BIC},BT=BI

Στο τρίγωνο OAI, με τέμνουσα

STB,\dfrac{TS}{TB}.\dfrac{BI}{BI+r}.\dfrac{r}{x}=1\Rightarrow

 TS=2x,BT=BI=r,BS^{2}=OB^{2}+OS^{2}\Rightarrow 3x^{2}+2rx-r^{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{r}{3}


Γιάννης
Συνημμένα
Ακριβώς στη μέση.png
Ακριβώς στη μέση.png (119.98 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακριβώς στη μέση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 19, 2019 10:12 pm

Ανάλυση
Ακριβώς στη μέση.png
Ακριβώς στη μέση.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές


Αφού στο ισοσκελές τρίγωνο OAC η διχοτόμος OT είναι ύψος και διάμεσος θα έχω: \widehat {OTA} = 90^\circ \,\, δηλαδή το T ανήκει στο κύκλο διαμέτρου OA.

Αν τώρα K το μέσο του OA θα είναι KT//OC \Rightarrow \boxed{KT \bot BS} . Δηλαδή η \overline {BTS} είναι εφαπτομένη του κύκλου αυτού.

Υπολογισμός

Θέτω r = 2R Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα OBS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TKS είναι όμοια έχω:

\dfrac{{OB}}{{TK}} = \dfrac{{BS}}{{KS}} \Rightarrow 2KS = BS \Rightarrow 4k{S^2} = B{S^2} και άρα

4{(R + x)^2} = {(2R)^2} + {(2R + x)^2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{2R}}{3} = \dfrac{r}{3}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ακριβώς στη μέση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 20, 2019 2:18 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 8:38 am
Κυνηγώντας το μέσο.pngΣτην προέκταση της ακτίνας OA=r , τεταρτοκυκλίου O\overset\frown{AB} , θεωρούμε σημείο S .

Η κάθετη από το O προς την BS τέμνει το τόξο στο σημείο C , ενώ το τμήμα CA

τέμνει την BS στο σημείο T . Πόσο πρέπει να πάρουμε το τμήμα AS , ώστε η OT

να είναι η διχοτόμος της \widehat{AOC} ;

κατασκευή

Από το μέσον \displaystyle N της \displaystyle OA φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα \displaystyle NT του κύκλου \displaystyle \left( {B,r} \right)

Η \displaystyle BT τέμνει την \displaystyle OA στο ζητούμενο σημείο \displaystyle S.

Πράγματι,επειδή \displaystyle BN \bot OT οι γωνίες \displaystyle \phi είναι ίσες .Επιπλέον \displaystyle 2\phi  + S = {90^0} \Rightarrow OC \bot BS

Υπολογισμοί

\displaystyle \frac{{IN}}{{IB}} = {\left( {\frac{{ON}}{{OB}}} \right)^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow IN = \frac{1}{5}BN και \displaystyle AT = 2IN = \frac{2}{5}BN \Rightarrow \frac{{AT}}{{BN}} = \frac{x}{{x + \frac{r}{2}}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \boxed{x = \frac{r}{3}}
ακριβώς στη μέση.png
ακριβώς στη μέση.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες