Χωρίς διαβήτη

[Doloros]

Τεκμηριώμένη κατασκευή.png (6.62 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Στο σχήμα το είναι εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου .

Να κατασκευάσετε, τεκμηριωμένα, το άλλο εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου από το , αλλά μόνο με τη χρήση του χάρακα ( δεν έχει διαβάθμιση) .

[S.E.Louridas]

Καλημέρα με αγάπη του φίλου Νίκου.

Κατασκευάζουμε τις διατέμνουσες , και προσδιορίζουμε το σημείο τομής των . Η επανατέμνει τέμνει τον κύκλο στο
Η είναι η ζητούμενη εφαπτομένη. Πράγματι αν είναι το σημείο τομής των , τότε, το είναι πλήρες τετράπλευρο με τις
διαγωνίους του να "τέμνονται αρμονικά" και έτσι να προσδιορίζουμε την πολική , δηλαδή την του ως προς τον κύκλο.

[KDORTSI]

Στο σχήμα το είναι εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου .

Να κατασκευάσετε, τεκμηριωμένα, το άλλο εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου από το , αλλά μόνο με τη χρήση του χάρακα ( δεν έχει διαβάθμιση) .

Νίκο καλημέρα...

Είναι ενδιαφέροντα αυτά τα προβλήματα που ακολουθούν μια "πλατωνική αντίληψη", δηλαδή
γεωμετρικές κατασκευές με ή χωρίς κανόνα, με ή χωρίς διαβήτη κλπ. (Θεωρήματα Mohr και Macheroni)

Στην ανωτέρω κατασκευή θυμόμαστε την έννοια της πολικής σημείου ως προς κύκλο, η οποία είναι ο γεωμετρικός τόπος
των συζυγών αρμονικών του σημείου αυτού ως προς τον κύκλο αυτό. Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Κατασκευή χωρίς διαβήτη 1.png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Από το σημείο φέρω δύο τέμνουσες με τη βοήθεια του κανόνα(αδιαβάθμητος χάρακας).
Στη συνέχεια βρίσκουμε το σημείο τομής των .
Ακολούθως ενώνουμε το σημείο επαφής με το σημείο τομής και η ευθεία που ορίζεται
τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Η ζητούμενη δεύτερη εφαπτομένη είναι η .

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Μόλις είδα και την ανάρτηση του φίλου Σωτήρη Λουρίδα. Αφήνω και τη δική μου που δεν διαφέρει σε τίποτα.

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί από τον Νίκο να προτείνω δούμε και το εξής πρόβλημα (που έχει λύση):

Έστω κύκλος και σημείο εκτός αυτού. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόμενες από το σημείο στον κύκλο, χρησιμοποιώντας μόνο τον κανόνα.

[Mihalis_Lambrou]

Έστω κύκλος και σημείο εκτός αυτού. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόμενες από το σημείο στον κύκλο, χρησιμοποιώντας μόνο τον κανόνα.

Οι παραπάνω λύσεις ουσιαστικά περιλαμβάνουν και την γενίκευση: Φέρνουμε από το τρεις διατέμνουσες. Π.χ. στο σχήμα του Κώστα, τις που έφερε ο ίδιος, και άλλη μία . Βρίσκουμε το όπως ο Κώστας από την τομή των διαγωνίων . Όμοια το από την τομή των . Η τέμνει τον κύκλο στα ζητούμενα σημεία (αποδειχθέν στα παραπάνω).

[Doloros]

Ας μου επιτραπεί από τον Νίκο να προτείνω δούμε και το εξής πρόβλημα (που έχει λύση):

Έστω κύκλος και σημείο εκτός αυτού. Να κατασκευάσετε τις εφαπτόμενες από το σημείο στον κύκλο, χρησιμοποιώντας μόνο τον κανόνα.

Καλησπέρα σε όλους .

Γενίκευση σε κωνικές.png (44.3 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

Νομίζω γενικεύεται και στις άλλες κωνικές . Στο σχήμα σε παραβολή .