Tσαχπίνικο τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8405
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Tσαχπίνικο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 15, 2019 7:19 pm

Ένα τρίγωνο ονομάζεται "τσαχπίνικο" όταν το ύψος από μία κορυφή, η διχοτόμος από μία άλλη και η διάμεσος από την τρίτη

κορυφή συντρέχουν. Σε ένα τρίγωνο ABC είναι \displaystyle \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{11}}{2} και \displaystyle \cos B = \frac{3}{4}. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι "τσαχπίνικο".



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6718
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Tσαχπίνικο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 15, 2019 9:47 pm

Το τρίγωνο είναι όμοιο προς τον εαυτό του

\boxed{a > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = \frac{a}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,b = \frac{a}{3}\sqrt {\frac{{11}}{2}} }

Τότε το ύψος από το A η διχοτόμος από το B και η διάμεσος από το C συντρέχουν

Με θ. Ceva τεκμηριώνεται.

Απόδειξη

Ισχύουν:\left\{ \begin{gathered} 
  \cos B = \frac{3}{4} \hfill \\ 
  {b^2} = 5,5{c^2} \hfill \\ 
  \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{3}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \cos B = \frac{3}{4} \hfill \\ 
  {b^2} = 5,5{c^2} \hfill \\ 
  {a^2} + {c^2} - {b^2} = 1,5ac \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Επειδή η τρίτη σχέση είναι ομογενής ως προς τις μεταβλητές , θέτω a = cx\,\,\,,x > 0 κι έχω:

2{x^2} - 3x - 9 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 3}

Δηλαδή το τρίγωνο έχει πλευρές : \boxed{a = 3c,\,\,b = c\sqrt {\frac{{11}}{2}} \,\,\,,\,\,\,c > 0}

δ\Δηλαδή παραμένει όμοιο συνεχώς για κάθε μεταβολή του c
τσακπινιές.png
τσακπινιές.png (21.13 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές


Επειδή {a^2} > {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow 9{c^2} = \dfrac{{11}}{2}{c^2} + {c^2} \Leftrightarrow 18 > 13 (αληθές) θα είναι \boxed{A > 90^\circ }

Συνεπώς και αφού διάμεσος και διχοτόμος από διαφορετικές κορυφές τριγώνου τέμνονται πάντα μέσα στο τρίγωνο αναγκαστικά το ύψος θα είναι από το A.

Προφανές δε αφού b > c η διάμεσος θα είναι από το C.

Για ευκολία πράξεων θέτω c = 4u\,,\,\,u > 0 και υπολογίζω τα τμήματα που προκύπτουν από το ύψος AK , τη διχοτόμο BD\,\, και τη διάμεσο CM.

\left\{ \begin{gathered} 
  BC = 12u\,\,\kappa \alpha \iota \,AC = 2u\sqrt {11} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AM = MB = 2u \hfill \\ 
  BK = c \cdot \cos B = 3u\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KC = 9u \hfill \\ 
  AD = \frac{{2k\sqrt {11}  \cdot 4u}}{{16u}} = \frac{{2u\sqrt {11} }}{3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 2u\sqrt {11}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Έτσι:\boxed{\frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BK}}{{KC}} \cdot \frac{{CD}}{{DA}} = \frac{{2u}}{{2u}} \cdot \frac{{3u}}{{9u}} \cdot \frac{{3u}}{u} = \frac{{18}}{{18}} = 1}


δείτε ακόμη ότι οι AB,KD είναι παράλληλες και από γνωστή πρόταση των τραπεζίων , η ευθεία που ενώνει τα μέσα των βάσεων διέρχεται απο το σημείο τομής των διαγωνίων του


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες