Σταθερός λόγος ακτίνων
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Σταθερός λόγος ακτίνων
α) Να κατασκευάσετε δύο κύκλους , που να εφάπτονται στη χορδή στο και εσωτερικά στο έλασσον και αντίστοιχα στο μείζον τόξο
β) Αν είναι οι ακτίνες αυτών των κύκλων, να δείξετε ότι ο λόγος είναι σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του επί της
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Από σημείο της προέκτασης της φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα .
ΟΙ τομές των ακτίνων με τις διχοτόμους των μας δίδουν τα δύο κέντρα
. Όπου η ακτίνα του κύκλου και το απόστημα προς τη χορδή
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Δευ Ιαν 14, 2019 10:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Για την κατασκευή:
Φέρνουμε την διάμετρο που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή .
Οι τεμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Οι τέμνουν την κάθετη προς την από το στα αντίστοιχα
που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.
Η απόδειξη προκύπτει από την ισότητα των γωνιών του σχήματος (αν βρω χρόνο και δεν απαντηθεί θα γράψω και την τεκμηρίωση).
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Φέρνουμε την διάμετρο που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή .
Οι τεμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Οι τέμνουν την κάθετη προς την από το στα αντίστοιχα
που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.
Η απόδειξη προκύπτει από την ισότητα των γωνιών του σχήματος (αν βρω χρόνο και δεν απαντηθεί θα γράψω και την τεκμηρίωση).
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- statheros logos aktinon.png (46.58 KiB) Προβλήθηκε 1224 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Από σημείο της προέκτασης της φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα .
ΟΙ τομές των ακτίνων με τις διχοτόμους των μας δίδουν τα δύο κέντρα
με η ακτίνα του κύκλου και το απόστημα προς τη χορδή
Απόδειξη
Το πρώτο προφανές αφού κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει των πλευρών της
Το μετρικό μέρος τώρα
Φέρνω τη διάμετρο .
Η αντιστροφή με πόλο και δύναμη αντιστροφής αφήνει αναλλοίωτους και τους τρεις κύκλους
Ενώ η αντιστροφή με τον ίδιο πόλο και την ίδια δύναμη της ευθείας την μετασχηματίζει και κύκλο που διέρχεται από τον πόλο με αντιδιαμετρικό
Το σημείο που συντρέχουν οι .
Από τη δέσμη ευθειών έχω :
Προτίθεμαι να ανεβάσω, αργότερα, δυναμικό αρχείο αλλά με άλλο λογισμικό ()
.
ΟΙ τομές των ακτίνων με τις διχοτόμους των μας δίδουν τα δύο κέντρα
με η ακτίνα του κύκλου και το απόστημα προς τη χορδή
Απόδειξη
Το πρώτο προφανές αφού κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει των πλευρών της
Το μετρικό μέρος τώρα
Φέρνω τη διάμετρο .
Η αντιστροφή με πόλο και δύναμη αντιστροφής αφήνει αναλλοίωτους και τους τρεις κύκλους
Ενώ η αντιστροφή με τον ίδιο πόλο και την ίδια δύναμη της ευθείας την μετασχηματίζει και κύκλο που διέρχεται από τον πόλο με αντιδιαμετρικό
Το σημείο που συντρέχουν οι .
Από τη δέσμη ευθειών έχω :
Προτίθεμαι να ανεβάσω, αργότερα, δυναμικό αρχείο αλλά με άλλο λογισμικό ()
.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
α) Έστω η μεσοκάθετος της δοσμένης χορδής ( το μέσο της, ανήκουν στο κύκλο κέντρου ). Έστω το σημείο τομής της ευθείας με το κύκλο ακτίνας και το σημείο τομής της ακτίνας με την κάθετη από το σημείο προς τη δοσμένη χορδή. Κατασκευάζουμε τον κύκλο κέντρου και ακτίνας . Ο κύκλος αυτός εφάπτεται του κύκλου ακτίνας , στο σημείο .george visvikis έγραψε: ↑Δευ Ιαν 14, 2019 11:13 amΣταθερός λόγος ακτίνων.png
Έστω μία σταθερή χορδή ενός κύκλου ακτίνας και ένα μεταβλητό σημείο της
α) Να κατασκευάσετε δύο κύκλους , που να εφάπτονται στη χορδή στο και εσωτερικά στο έλασσον και αντίστοιχα στο μείζον τόξο
β) Αν είναι οι ακτίνες αυτών των κύκλων, να δείξετε ότι ο λόγος είναι σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του επί της
Έστω το σημείο τομής της ευθείας με το κύκλο κέντρου . Λόγω ομοιoθεσίας θα έχουμε
, . Άρα θα είναι και . Στον ίδιο λόγο όμως χωρίζει και το σημείο την . Έπομένως τα σημεία και ταυτίζονται και ο κύκλος κέντρου και ακτίνας είναι ο ζητούμενος. Ομοίως κατασκευάζεται και ο δεύτερος κύκλος.
β) Έστω το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου με το κύκλο ακτίνας και το σημείο τομής των ευθειών και . Τότε το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Για το ζητούμενο λόγο των ακτινών έχουμε διαδοχικά.
Η τελευταία ισότητα λόγω των ομοίων ορθογώνιων τριγώνων και γίνεται
Από το θεώρημα Ceva όμως, ισχύει
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Επανέρχομαι ολοκληρωμένα.
Για την κατασκευή:
Φέρνουμε την διάμετρο που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή .
Οι τεμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Οι τέμνουν την κάθετη προς την από το στα αντίστοιχα που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.
Απόδειξη κατασκευής:
Ο κύκλος διέρχεται επίσης από το λόγω του ότι . Η ακτίνα είναι εκ κατασκευής κάθετη στην άρα ο κύκλος
εφάπτεται στην εφάπτεται στην . Ομοίως και για τον πάνω κύκλο.
Ο λόγος :
Προεκτείνουμε τις που τέμνονται στο . Το είναι το ορθόκεντρο του , άρα το βρίσκεται πάνω στην .
Η προέκταση του τέμνει την έστω στο . Ισχύει ότι: άρα το είναι σημείο του κύκλου .
Από ομοιοθεσία με κέντρο έχουμε:
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Για την κατασκευή:
Φέρνουμε την διάμετρο που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή .
Οι τεμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα. Οι τέμνουν την κάθετη προς την από το στα αντίστοιχα που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.
Απόδειξη κατασκευής:
Ο κύκλος διέρχεται επίσης από το λόγω του ότι . Η ακτίνα είναι εκ κατασκευής κάθετη στην άρα ο κύκλος
εφάπτεται στην εφάπτεται στην . Ομοίως και για τον πάνω κύκλο.
Ο λόγος :
Προεκτείνουμε τις που τέμνονται στο . Το είναι το ορθόκεντρο του , άρα το βρίσκεται πάνω στην .
Η προέκταση του τέμνει την έστω στο . Ισχύει ότι: άρα το είναι σημείο του κύκλου .
Από ομοιοθεσία με κέντρο έχουμε:
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- Συνημμένα
-
- statheros logos aktinon.png (46.65 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Ευχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη, τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι.
Έστω το απόστημα της χορδής και Τότε με Πυθαγόρειο στο έχουμε:
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκω οπότε
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκω οπότε
Re: Σταθερός λόγος ακτίνων
Ωραίος ο υπολογισμός της ακτίνας του κάθε κύκλου που έχει σαν συνέπεια τον απλό υπολογισμό του λόγου των ακτίνωνgeorge visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιαν 16, 2019 11:30 amΕυχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη, τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι. Σταθερός λόγος ακτίνων.β.png
Έστω το απόστημα της χορδής και Τότε με Πυθαγόρειο στο έχουμε:
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκω οπότε
Βάζω και το δυναμικό αρχείο που είχα υποσχεθεί ( με )
- Συνημμένα
-
- Σταθερός λόγος ακτίνων_αντιστροφή.ggb
- (39.79 KiB) Μεταφορτώθηκε 32 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες