Εφαπτόμενο προ- υπολογισμένο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10574
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτόμενο προ- υπολογισμένο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:47 pm

Εφαπτόμενο προ-υπολογισμένο.png
Εφαπτόμενο προ-υπολογισμένο.png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Στο σημείο Q της διαμέτρου AB του ημικυκλίου , υψώνουμε κάθετο τμήμα QP=14 , το οποίο

τέμνει το τόξο στο T . Η εφαπτομένη στο T τέμνει την προέκταση της AB στο σημείο S .

Από το μέσο M του SP , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα MN . Υπολογίστε το μήκος του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εφαπτόμενο προ- υπολογισμένο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 12, 2019 11:55 pm

Η τετράδα (Q,S\backslash A,B) είναι αρμονική και άρα : \boxed{\dfrac{{BQ}}{{BS}} = \dfrac{{AQ}}{{AS}}} έτσι αν θέσω BS = a

θα έχω: \dfrac{3}{a} = \dfrac{7}{{10 + a}} \Rightarrow 30 + 3a = 7a \Rightarrow \boxed{a = \dfrac{{15}}{2}} . Τώρα Π. Θ. στο \vartriangle QPS και βρίσκω

το PS = 2b. Είναι: {14^2} + {\left( {\dfrac{{21}}{2}} \right)^2} = 4{b^2} \Rightarrow \boxed{b = \dfrac{{35}}{4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{2b = \dfrac{{35}}{2}}.

Έτσι το ορθογώνιο τρίγωνο \boxed{QPS \to \dfrac{7}{2}(4,5,3)}
Εφαπτόμενο προυπολογισμένο.png
Εφαπτόμενο προυπολογισμένο.png (20.63 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Οπότε από Θ. συνημίτονου στο \vartriangle MSO έχω:

O{M^2} = {\left( {\dfrac{{35}}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{25}}{2}} \right)^2} - 2\left( {\dfrac{{35}}{4}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{25}}{2}} \right) \cdot \dfrac{3}{5}\, = \dfrac{{1625}}{{16}}\,\,\,\,(1)

και το MN = x από Π. Θ. στο NOM με O το κέντρο του ημικυκλίου δίδει :

\displaystyle \boxed{x = \sqrt {O{M^2} - O{N^2}}  = \dfrac{{35}}{4}}
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Ιαν 13, 2019 1:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εφαπτόμενο προ- υπολογισμένο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Ιαν 13, 2019 1:05 am

Είναι TQ^{2}=25-4=21\Leftrightarrow TQ=\sqrt{21}
\left\{\begin{matrix} &TS^{2}=21+\left ( 3+BS \right )^{2}=30+6BS+BS^{2} & \\ & TS^{2}=\left ( 5+BS \right )^{2}-25=10BS+BS^{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow BS=\dfrac{15}{2}

MN^{2}=OM^{2}-25

Εφαρμόζουμε νόμο συνημιτόνων στο OMQ.
OM^{2}=4+MQ^{2}+2\cdot \cos\widehat{BQM}\cdot 2\cdot QM
Eίναι QM=MS αφού είναι διάμεσος προς την υποτίνουσα ορθογωνίου τριγώνου.

PS^{2}=\left ( 3+\dfrac{15}{2} \right )^{2}+14^{2}=250+\dfrac{225}{4}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow PS=\dfrac{35}{2}
Άρα QM=\dfrac{35}{4}.
Με νόμο συνιμητόνων στο QMS προκύπτει \cos\widehat{BQM}=0,6.
Αντικαθιστούμε
OM^{2}=4+MQ^{2}+2\cdot \cos\widehat{BQM}\cdot 2\cdot QM=4+\dfrac{35^{2}}{16}+4\cdot 0,6\cdot \dfrac{35}{4}=...=25+\left ( \dfrac{36}{4} \right )^{2}

Άρα

MN^{2}=OM^{2}-25\Leftrightarrow MN^{2}=25+\left ( \dfrac{35}{4} \right )^{2}-25\Leftrightarrow MN=\dfrac{35}{4}=8,75
Συνημμένα
7.PNG
7.PNG (34.11 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτόμενο προ- υπολογισμένο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 13, 2019 11:42 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:47 pm
Εφαπτόμενο προ-υπολογισμένο.pngΣτο σημείο Q της διαμέτρου AB του ημικυκλίου , υψώνουμε κάθετο τμήμα QP=14 , το οποίο

τέμνει το τόξο στο T . Η εφαπτομένη στο T τέμνει την προέκταση της AB στο σημείο S .

Από το μέσο M του SP , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα MN . Υπολογίστε το μήκος του .
Νομίζω ότι το κλειδί είναι πως το τρίγωνο PNS είναι ορθογώνιο.
Εφαπτόμενο προ-υπολογισμένο.png
Εφαπτόμενο προ-υπολογισμένο.png (18.58 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
\displaystyle T{Q^2} = T{S^2} - Q{S^2} \Leftrightarrow 21 = x(x + 10) - {(x + 3)^2} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{15}{2}} (1)

\displaystyle P{S^2} = 196 + {(x + 3)^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{PS=\frac{35}{2}} (2)

\displaystyle OQ \cdot OS = 2(5 + x)\mathop  = \limits^{(1)} 25 = O{N^2}, άρα η ON εφάπτεται στον περίκυκλο του NQS, οπότε το M είναι

το κέντρο του κύκλου (*), το PNQS είναι εγγράψιμο και P\widehat NS=90^\circ. Άρα, \boxed{NM = \frac{{PS}}{2} = \frac{{35}}{4}}


(*) Βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του QS και στην κάθετο του ON στο N.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: STOPJOHN και 2 επισκέπτες