Κατασκευή σε κύκλο

[Xriiiiistos]

Σε ημικύκλιο διαμέτρου παίρνουμε τυχαία κάθετη στην που να την τέμνει εσωτερικά. Να κατασκευαστεί ο ένας από τους 2 κύκλους που εφάπτεται στον ημικύκλιο, στην κάθετη της διαμέτρου και στην διάμετρο ταυτόχρονα. Ένα έξτρα ερώτημα Aν η κάθετη τέμνει την διάμετρο στο και το κύκλο στο τότε μπορεί ο ζητούμενος κύκλος να εφάπτεται στο μέσο της ;

[KARKAR]

[attachment=0]εφάπτεται στην κάθετη.png[/attachment]

[vittasko]

Μία εύκολη κατασκευή του ζητούμενου κύκλου, χωρίς υπολογισμό της ακτίνας του, βασίζεται σε ένα γνωστό Λήμμα, σύμφωνα με το οποίο η ευθεία στο σχήμα του Θάνάση, περνάει από το έγκεντρο του τριγώνου .

Επομένως, τα σημεία , προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την διχοτόμο της γωνίας και άρα, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου προκύπτει άμεσα.

Η ως άνω κατασκευή αφορά σε τυχούσες τις ευθείες και επομένως το πρόβλημα όπως έχει τεθεί, είναι μία είδική περίπτωση.

Κατασκευή σε κύκλο.

f 178_t 63593.PNG (18.8 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Το παραπάνω αναφερόμενο Λήμμα, οφείλεται στον Jean-Louis Ayme, εξαίρετο Γάλλο γεωμέτρη και έχει χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, από τον ίδιο. (*)

Την απόδειξη αυτού του Λήμματος, έχουμε δει "μεταγλωτισμένη" παλιότερα, Εδώ.

Κώστας Βήττας.

(*) Δύο άλλες αποδείξεις του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, βασισμένες στο ίδιο ως άνω δυνατό Λήμμα, έχουμε δεί Εδώ.

[KARKAR]

εφάπτεται στην κάθετη.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Για το δεύτερο ερώτημα ( ) : Πρέπει : .

Συνδυάζοντας με την υπολογισθείσα , βρίσκουμε : .

[Doloros]

Ας είναι ο ζητούμενος και το δεδομένο ημικύκλιο. Έστω ακόμα . Ο ομόκεντρος του που διέρχεται από το , διέρχεται κι από το

συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της ορθής γωνίας . Εφάπτεται δε

Της εφαπτομένης ευθείας του ημικυκλίου στο μέσο του . Το πρώτο πρόβλημα του Απολλώνιου ( Σ(ημείο) ,Σ(ημείο),Ε(υθεία) )

Μια κατασκευή κύκλου.png (52 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Για τον υπολογισμό της ακτίνας έχουμε την εξίσωση

Καθ’ όσον το ανήκει στην ακτίνα ή . .

Στη περίπτωση τώρα που η επαφή είναι στο μέσο του τα είπαν πιο πάνω .


Δίνω και το δυναμικό αρχείο κατασκευής με τα σχετικά και όχι μόνο εργαλεία ( Το κινείται με το ποντίκι )

Με «αποθήκευση επιλογών» θα τα έχει όποιος θέλει κάθε φορά που θα τρέχει το Geogebra . με «επαναφορά προεπιλογών» ξαναγυρίζει στις αρχικές ρυθμίσεις

[george visvikis]

Κατασκευή σε κύκλο.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

Κατασκευή: Ο κύκλος τέμνει τη διάμετρο στο Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της με τη κάθετο από το στη διάμετρο.

[KARKAR]

Η "επάνοδος "του Στάθη με μια λύση , εδώ

[Doloros]

Η πιο παραπάνω λύση μου είναι σύμφωνα με τον κλασικό τρόπο .

Επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση της θέσης των ευθειών η λύση του Γιώργου του Βισβίκη είναι η πλέον ενδεδειγμένη .

Αλλά το θέμα δέχεται κι άλλους τρόπους λύσεις που επί της ουσίας είναι αυτές του Γιώργου και του Στάθη που μας παραπέμπει ο ( Δεν είχα τότε ακόμα γραφτεί στο mathematica).

Μια κατασκευή κύκλου με αντιστροφή.png (25.03 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Έστω λοιπόν λυμένο το πρόβλημα και ο κύκλος που ζητάμε έχει κέντρο .

Τα σημεία επαφής με τις είναι τα και με το ημικύκλιο το .

Τα σημεία είναι συνευθειακά αφού και τα είναι ισοσκελή.

Η αντιστροφή του κύκλου αυτού με πόλο το και δύναμη αντιστροφής

Αφήνει αναλλοίωτο τον κύκλο αφού :



Η από το Θ. Ευκλείδη στο , η από το εγγράψιμο τετράπλευρο

και η από τη δύναμη του στον κύκλο κέντρου .

Συνεπώς

(Η αντιστροφή της με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη την μετασχηματίζει στο κύκλο κέντρου λόγω των .

Αφού η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και οι κύκλοι εφάπτονται.)

Αφού προσδιορίζεται κατά πολύ απλό τρόπο το , κατασκευάζουμε το τετράγωνο

και βρίσκουμε το