Κατασκευή σε κύκλο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 163
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Κατασκευή σε κύκλο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 12, 2019 1:07 pm

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB παίρνουμε τυχαία κάθετη στην AB που να την τέμνει εσωτερικά. Να κατασκευαστεί ο ένας από τους 2 κύκλους που εφάπτεται στον ημικύκλιο, στην κάθετη της διαμέτρου και στην διάμετρο ταυτόχρονα. Ένα έξτρα ερώτημα Aν η κάθετη τέμνει την διάμετρο στο Z και το κύκλο στο C τότε μπορεί ο ζητούμενος κύκλος να εφάπτεται στο μέσο της CZ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 7:54 pm

[attachment=0]εφάπτεται στην κάθετη.png[/attachment]
Συνημμένα
εφάπτεται στην κάθετη.png
εφάπτεται στην κάθετη.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Ιαν 12, 2019 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2015
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιαν 12, 2019 9:46 pm

\bullet Μία εύκολη κατασκευή του ζητούμενου κύκλου, χωρίς υπολογισμό της ακτίνας του, βασίζεται σε ένα γνωστό Λήμμα, σύμφωνα με το οποίο η ευθεία EH στο σχήμα του Θάνάση, περνάει από το έγκεντρο I του τριγώνου \vartriangle ABC.

Επομένως, τα σημεία E,\ H, προσδιορίζονται ως τα σημεία τομής των ZC,\ AB αντιστοίχως, από την δια του σημείου I κάθετη ευθεία επί την διχοτόμο της γωνίας \angle BZC και άρα, το κέντρο του ζητούμενου κύκλου προκύπτει άμεσα.

Η ως άνω κατασκευή αφορά σε τυχούσες τις ευθείες AB,\ ZC και επομένως το πρόβλημα όπως έχει τεθεί, είναι μία είδική περίπτωση.
f 178_t 63593.PNG
Κατασκευή σε κύκλο.
f 178_t 63593.PNG (18.8 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
\bullet Το παραπάνω αναφερόμενο Λήμμα, οφείλεται στον Jean-Louis Ayme, εξαίρετο Γάλλο γεωμέτρη και έχει χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, από τον ίδιο. (*)

Την απόδειξη αυτού του Λήμματος, έχουμε δει "μεταγλωτισμένη" παλιότερα, Εδώ.

Κώστας Βήττας.

(*) Δύο άλλες αποδείξεις του Θεωρήματος Sawayama - Thebault, βασισμένες στο ίδιο ως άνω δυνατό Λήμμα, έχουμε δεί Εδώ.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Ιαν 16, 2019 2:31 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 12, 2019 11:04 pm

εφάπτεται στην κάθετη.png
εφάπτεται στην κάθετη.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές
Για το δεύτερο ερώτημα ( CE=EZ) ) : Πρέπει : (R-d)(R+d)=4r^2 .

Συνδυάζοντας με την υπολογισθείσα r , βρίσκουμε : d=\dfrac{7R}{25} , r= \dfrac{12R}{25} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 14, 2019 4:22 am

Ας είναι (K,x) ο ζητούμενος και (O,R) το δεδομένο ημικύκλιο. Έστω ακόμα d = OZ. Ο ομόκεντρος του (K,x) που διέρχεται από το O , διέρχεται κι από το

O' συμμετρικό του O ως προς τη διχοτόμο της ορθής γωνίας \widehat {BZC}. Εφάπτεται δε

Της εφαπτομένης ευθείας του ημικυκλίου στο μέσο του M. Το πρώτο πρόβλημα του Απολλώνιου ( Σ(ημείο) ,Σ(ημείο),Ε(υθεία) )
Μια κατασκευή κύκλου.png
Μια κατασκευή κύκλου.png (52 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Για τον υπολογισμό της ακτίνας x έχουμε την εξίσωση {(R - x)^2} = {x^2} + {(d \pm x)^2}

Καθ’ όσον το Z ανήκει στην ακτίνα OB\,\,( + ) ή OA. ( - ).

Στη περίπτωση τώρα που η επαφή είναι στο μέσο του CZ τα είπαν πιο πάνω .


Δίνω και το δυναμικό αρχείο κατασκευής με τα σχετικά και όχι μόνο εργαλεία ( Το Z κινείται με το ποντίκι )

Με «αποθήκευση επιλογών» θα τα έχει όποιος θέλει κάθε φορά που θα τρέχει το Geogebra . με «επαναφορά προεπιλογών» ξαναγυρίζει στις αρχικές ρυθμίσεις
Συνημμένα
Μια κατασκευή κύκλου.ggb
(39.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 9 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7699
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 14, 2019 1:21 pm

Κατασκευή σε κύκλο.png
Κατασκευή σε κύκλο.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Κατασκευή: Ο κύκλος (A, AC) τέμνει τη διάμετρο στο P. Το κέντρο K του ζητούμενου κύκλου

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της B\widehat ZC με τη κάθετο από το P στη διάμετρο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 14, 2019 2:59 pm

Η "επάνοδος "του Στάθη με μια λύση , εδώ


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή σε κύκλο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 14, 2019 4:50 pm

Η πιο παραπάνω λύση μου είναι σύμφωνα με τον κλασικό τρόπο .

Επειδή εδώ έχουμε ειδική περίπτωση της θέσης των ευθειών η λύση του Γιώργου του Βισβίκη είναι η πλέον ενδεδειγμένη .

Αλλά το θέμα δέχεται κι άλλους τρόπους λύσεις που επί της ουσίας είναι αυτές του Γιώργου και του Στάθη που μας παραπέμπει ο KARKAR( Δεν είχα τότε ακόμα γραφτεί στο mathematica).
Μια κατασκευή κύκλου με αντιστροφή.png
Μια κατασκευή κύκλου με αντιστροφή.png (25.03 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές


Έστω λοιπόν λυμένο το πρόβλημα και ο κύκλος που ζητάμε έχει κέντρο K.

Τα σημεία επαφής με τις CZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB είναι τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E και με το ημικύκλιο το T.

Τα σημεία A,D,T είναι συνευθειακά αφού DK//AB\,\,\, και τα \vartriangle OAT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle KDT είναι ισοσκελή.

Η αντιστροφή του κύκλου αυτού με πόλο το A και δύναμη αντιστροφής A{C^2}

Αφήνει αναλλοίωτο τον κύκλο αφού :

\left\{ \begin{gathered} 
  A{C^2} = AZ \cdot AB\,\,\,(1) \hfill \\ 
  AZ \cdot AB = AD \cdot AT\,\,(2) \hfill \\ 
  AD \cdot AT = A{E^2}\,\,\,\,(3) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Η (1) από το Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle ABC , η (2) από το εγγράψιμο τετράπλευρο

BZDT και η (3) από τη δύναμη του A στον κύκλο κέντρου K.

Συνεπώς \boxed{AC = AE}

(Η αντιστροφή της ZC με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη την μετασχηματίζει στο κύκλο κέντρου O λόγω των (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2).

Αφού η ευθεία ZC εφάπτεται του κύκλου (K,KD) και οι κύκλοι εφάπτονται.)

Αφού προσδιορίζεται κατά πολύ απλό τρόπο το E, κατασκευάζουμε το τετράγωνο

ZEKD και βρίσκουμε το K


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες