Από ισοσκελές σε παράλληλες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Από ισοσκελές σε παράλληλες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 12, 2019 12:52 pm

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC παίρνουμε τυχαίο σημείο D στην βάση BC. Από το D τραβάμε παράλληλες προς τιςAB,AC οι οποίες τέμνουν την AC στο E και την AB στο Z αντίστοιχα. Αν το ύψος από το A προς την BC τέμνει την DE στο L να δείξεται BL//ZE



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Από ισοσκελές σε παράλληλες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 12, 2019 2:23 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 12:52 pm
Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC παίρνουμε τυχαίο σημείο D στην βάση BC. Από το D τραβάμε παράλληλες προς τιςAB,AC οι οποίες τέμνουν την AC στο E και την AB στο Z αντίστοιχα. Αν το ύψος από το A προς την BC τέμνει την DE στο L να δείξεται BL//ZE
Έστω AQ \perp BC το ύψος.

Τότε, \angle EAL=90^\circ-\angle C=90^\circ-\angle B=90^\circ-\angle EDC=\angle DLQ=\angle ALE \Rightarrow EL=EA (1).

Ακόμη, \angle ZDB=\angle C=\angle B \Rightarrow BZ=ZD (2).

Επίσης, ZD \parallel AE, AZ \parallel ED \Rightarrow AZDE παραλληλόγραμμο, άρα ZD=AE (3).

Από (1), (2), (3), προκύπτει EL=EA=ZD=ZB \Rightarrow EL \parallel = ZB \Rightarrow ZBLE παραλληλόγραμμο, οπότε BL \parallel ZE, ό.έ.δ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 330
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Από ισοσκελές σε παράλληλες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 12, 2019 2:26 pm

Έχουμε ZD//AE και AZ//DE άρα ZD=AE,AZ=DE .Επίσης BZ//LE.

Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι αρκεί να δείξουμε ότι BZ=AE.

Eίναι \widehat{ZDB}=\widehat{DCA=}\widehat{DBZ} ως εντός εκτός και επί τα αυτά.
Άρα BZ=ZD.

Είναι \widehat{ELA}=\widehat{LAZ}=\widehat{LAE} ως εντός εναλλάξ και AL διχοτόμος της \widehat{A}.Άρα LE=AE.

Αφού όμως BZ=ZD προκύπτει BZ=AE.
Συνημμένα
Capture6.PNG
Capture6.PNG (30.15 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές


ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Από ισοσκελές σε παράλληλες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιαν 12, 2019 2:36 pm

Απο το L φέρουμε ευθεία \varepsilon //ZD//AC και απο το Z φέρουμε ευθεία \eta//BC και K το σημείο τομής της \eta με την AC.
Έχουμε: Τα τρίγωνα BZL και CLK είναι ίσα καθώς LB=LC, LZ=LK, και \widehat{ZLB}=\widehat{CLK}.
Θα αποδείξουμε ότι CK=LE. Επειδή είναι ZL=LK, απο το θεώρημα του Θαλή έχουμε DL=LE. To DCKL είναι ισοσκελές τραπέζιο, επομένως DE=DL=KC=ZB. Άρα είναι BZ//=DE\Rightarrow BL=ZE.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης