Από σταθερό σημείο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10572
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 11, 2019 12:20 pm

Από  σταθερό  σημείο.png
Από σταθερό σημείο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Έστω : m \in (1,  +\infty) . Στις κάθετες πλευρές AB  , AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC

θεωρούμε σημεία P,T αντίστοιχα , ώστε : BP=\dfrac{c}{m} , AT=\dfrac{b}{m} . Δείξτε ότι ο κύκλος

(P,A,T) διέρχεται , για τις διάφορες τιμές του m , από σταθερό σημείο S της BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7975
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 11, 2019 1:23 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 12:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΈστω : m \in (1,  +\infty) . Στις κάθετες πλευρές AB  , AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC

θεωρούμε σημεία P,T αντίστοιχα , ώστε : BP=\dfrac{c}{m} , AT=\dfrac{b}{m} . Δείξτε ότι ο κύκλος

(P,A,T) διέρχεται , για τις διάφορες τιμές του m , από σταθερό σημείο S της BC .
To S είναι το ίχνος του ύψους.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 11, 2019 2:59 pm

Αγνοώ προσωρινά τον κύκλο και φέρνω παράλληλη από το P προς την AC που τέμνει την υποτείνουσα στο J. Θέτω και \boxed{\frac{1}{m} = k} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  BP = ck\,\, \hfill \\ 
  AT = bk \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .
Απο σταθερό  σημείο_1.png
Απο σταθερό σημείο_1.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Επειδή : \boxed{\frac{{PJ}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BA}} \Rightarrow \frac{{PJ}}{b} = \frac{{ck}}{c} = k \Rightarrow PJ = bk = AT}\,\,\,(1) .

Άρα το τετράπλευρο ATJP είναι ορθογώνιο .

Γράφω τώρα τον κύκλο (P,A,T) που θα διέρχεται από το J και θα τέμνει την υποτείνουσα ακόμη σε σημείο S
Απο σταθερό  σημείο_2_ok.png
Απο σταθερό σημείο_2_ok.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
Η διάμετρος του κύκλου είναι η διαγώνιος AJ και άρα η AS κάθετη στην υποτείνουσα.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Από σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιαν 11, 2019 3:33 pm

Φέρνω από το \large P παράλληλη στην \large AC που την τέμνει έστω στο \large F.
\large \bigtriangleup BPF\approx \bigtriangleup BAC\Rightarrow PF=\frac{b}{m}=AT
Αρα \large PATF ορθογώνιο παραλληλόγραμμο εγγεγραμμένο στον κύκλο με την διαγώνιο \large AF διάμετρο του κύκλου.
Αρα \large \angle ASF=90 δηλ. \large S το ίχνος του \large A

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Μετά είδα ότι παρόμοίως λύθηκε από τον Doloros. (την αφήνω για τον κόπο).
Συνημμένα
stathero shmeio.png
stathero shmeio.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7975
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από σταθερό σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 11, 2019 7:48 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 1:23 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 12:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΈστω : m \in (1,  +\infty) . Στις κάθετες πλευρές AB  , AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC

θεωρούμε σημεία P,T αντίστοιχα , ώστε : BP=\dfrac{c}{m} , AT=\dfrac{b}{m} . Δείξτε ότι ο κύκλος

(P,A,T) διέρχεται , για τις διάφορες τιμές του m , από σταθερό σημείο S της BC .

To S είναι το ίχνος του ύψους.
Από σταθερό σημείο.Κ.png
Από σταθερό σημείο.Κ.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Φέρνω το ύψος AS και θεωρώ σημείο P της AB ώστε BP=\dfrac{c}{m}. Ο κύκλος που διέρχεται από τα A, P, S

επανατέμνει την BC στο Q και την AC στο T. Θα δείξω ότι AT=\dfrac{b}{m}.

\displaystyle BP \cdot BA = BS \cdot BQ \Leftrightarrow \frac{c}{m} \cdot c = \frac{{{c^2}}}{a} \cdot BQ \Leftrightarrow \boxed{BQ=\dfrac{a}{m}} (1)

\displaystyle CT \cdot CA = CQ \cdot CS \Leftrightarrow CT \cdot b = (a - BQ)\frac{{{b^2}}}{a}\mathop  = \limits^{(1)} \left( {a - \frac{a}{m}} \right)\frac{{{b^2}}}{a} \Leftrightarrow CT = b\left( {1 - \frac{1}{m}} \right) \Leftrightarrow \boxed{AT=\dfrac{b}{m}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1785
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Από σταθερό σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Ιαν 12, 2019 12:08 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 12:20 pm
Από σταθερό σημείο.pngΈστω : m \in (1,  +\infty) . Στις κάθετες πλευρές AB  , AC του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC

θεωρούμε σημεία P,T αντίστοιχα , ώστε : BP=\dfrac{c}{m} , AT=\dfrac{b}{m} . Δείξτε ότι ο κύκλος

(P,A,T) διέρχεται , για τις διάφορες τιμές του m , από σταθερό σημείο S της BC .

Θέτω

SL=x, BS.BL=\dfrac{c^{2}}{m}\Leftrightarrow (BS+x).BS=\dfrac{c^{2}}{m},(1), LC.SC=b^{2}.\dfrac{m-1}{m}

           \Leftrightarrow (a-x-BS).(a-BS)=b^{2}.\dfrac{m-1}{m},(2), (1),(2)\Rightarrow am(SB)^{2}-

          (mc^{2}+a^{2}). (SB)+ac^{2}=0

Το τριώνυμο ,ως προς SB έχει λύση SB=\dfrac{c^{2}}{a},SB=\dfrac{a}{m},      SB.BC=AB^{2}\Leftrightarrow \hat{ASB}=90^{0}

Αρα το σταθερό σημείο είναι το ίχνος του ύψους AS

Αν BS=\dfrac{a}{m} τότε τα σημεία L,S
ταυτίζονται και ο κύκλος εφάπτεται στην υποτείνουσα στο σημείο S


Γιάννης
Συνημμένα
Από σταθερό σημείο.png
Από σταθερό σημείο.png (72.25 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης