Τρίγωνο - πρωταθλητής

KARKAR · #1

: Τρίγωνο - πρωταθλητής.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Χορδή

κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το

προς την εφαπτομένη στο

, την τέμνει στο σημείο

.

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου PST

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 08, 2019 12:59 pm
Τρίγωνο - πρωταθλητής.pngΧορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το προς την εφαπτομένη στο , την τέμνει στο σημείο .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Τρίγωνο πρωταθλητής.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}r \cdot ST\sin \varphi = (OST) = \frac{1}{2}{r^2}\sin (180^\circ - 2\varphi ) \Leftrightarrow$ $\boxed{ST = 2r\cos \varphi }$ (1)

$\displaystyle (PST) = \frac{1}{2}PS \cdot ST\sin \varphi = \frac{1}{2}(ST\cos \varphi )ST\sin \varphi \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{(PST) = E(\varphi ) = 2{r^2}\sin \varphi {\cos ^3}\varphi }$

Με παραγώγους βρίσκω ότι η συνάρτηση $E(\varphi)$ παρουσιάζει για $\boxed{\varphi = 30^\circ}$ μέγιστη τιμή $\boxed{ {(PST)_{\max }} = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$

Σ' αυτή την περίπτωση η χορδή

είναι ίση με την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας

.

Μήπως η άσκηση αυτή σχετίζεται με το άλυτο;

Altrian · #3

$(PST)=(STQ)=(SFQ)\Rightarrow (SPT)=(SFT)/2\Rightarrow (SPT)_{max}=(SFT)_{max}/2$
το οποίο ως εγγεγραμμένο στον κύκλο μεγιστοποιείται (το εμβαδό του) όταν είναι ισόπλευρο δηλ. $2\angle \phi=60\Rightarrow \angle \phi=30$

Εύκολα τότε έχουμε:
$u=\frac{r}{2}, v=\frac{r\sqrt{3}}{2}$

$(SPT)_{max}=\frac{v(r+u)}{2}=\frac{r^{2}3\sqrt{3}}{8}$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 08, 2019 12:59 pm
Τρίγωνο - πρωταθλητής.pngΧορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το προς την εφαπτομένη στο , την τέμνει στο σημείο .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Θέτω $BL=x,\hat{PST}=\hat{\omega },$

Τότε είναι $\hat{STO}=\omega =\hat{TOL}=\hat{NTL}=\hat{PST},\hat{\hat{OTL}}=90^{0},TN\perp OL,$
Από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $OTL,TL^{2}=x(x+2r),TL^{2}=LN(x+r),LN=\dfrac{x(x+2r)}{x+r},ON=\dfrac{2r^{2}}{x+r},ST=2ON=\dfrac{2r^{2}}{x+r},TL=\sqrt{x(x+2r)},$
Από τα όμοια τρίγωνα

$TNL,PST,\dfrac{PT}{NL}=\dfrac{PS}{TN}=\dfrac{ST}{TL},PS=\dfrac{2r^{3}}{(x+r)^{2}}, PT=\dfrac{2r^{2}\sqrt{x(x+2r)}}{(x+r)^{2}}, (PST)=2r^{5}.\dfrac{\sqrt{x(x+2r)}}{(x+r)^{4}}=f(x), f'(x)=\dfrac{2r^{5}(-3x^{2}-6rx+r^{2})}{(x+r)^{5}\sqrt{x(x+2r)}}$

και μέγιστο υπάρχει για $x=r.\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$

και $(SAT)_{max}=r^{2}\dfrac{3\sqrt{3}}{8},(ST)_{max}=r\sqrt{3}$

Γιάννης

Τρίγωνο - πρωταθλητής

Τρίγωνο - πρωταθλητής

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

Μέλη σε σύνδεση