Τρίγωνο - πρωταθλητής

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10394
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίγωνο - πρωταθλητής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 08, 2019 12:59 pm

Τρίγωνο - πρωταθλητής.png
Τρίγωνο - πρωταθλητής.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 208 φορές
Χορδή ST κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AB=2r ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το S προς την εφαπτομένη στο T , την τέμνει στο σημείο P .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου PST .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7698
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 5:01 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 12:59 pm
Τρίγωνο - πρωταθλητής.pngΧορδή ST κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AB=2r ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το S προς την εφαπτομένη στο T , την τέμνει στο σημείο P .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου PST .
Τρίγωνο πρωταθλητής.png
Τρίγωνο πρωταθλητής.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
\displaystyle \frac{1}{2}r \cdot ST\sin \varphi  = (OST) = \frac{1}{2}{r^2}\sin (180^\circ  - 2\varphi ) \Leftrightarrow \boxed{ST = 2r\cos \varphi } (1)

\displaystyle (PST) = \frac{1}{2}PS \cdot ST\sin \varphi  = \frac{1}{2}(ST\cos \varphi )ST\sin \varphi \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{(PST) = E(\varphi ) = 2{r^2}\sin \varphi {\cos ^3}\varphi }

Με παραγώγους βρίσκω ότι η συνάρτηση E(\varphi) παρουσιάζει για \boxed{\varphi  = 30^\circ} μέγιστη τιμή \boxed{ {(PST)_{\max }} = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}

Σ' αυτή την περίπτωση η χορδή ST είναι ίση με την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας r.


Μήπως η άσκηση αυτή σχετίζεται με το άλυτο; ;)


Altrian
Δημοσιεύσεις: 116
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Ιαν 08, 2019 5:44 pm

(PST)=(STQ)=(SFQ)\Rightarrow (SPT)=(SFT)/2\Rightarrow (SPT)_{max}=(SFT)_{max}/2
το οποίο ως εγγεγραμμένο στον κύκλο μεγιστοποιείται (το εμβαδό του) όταν είναι ισόπλευρο δηλ. 2\angle \phi=60\Rightarrow \angle \phi=30

Εύκολα τότε έχουμε:
u=\frac{r}{2}, v=\frac{r\sqrt{3}}{2}

(SPT)_{max}=\frac{v(r+u)}{2}=\frac{r^{2}3\sqrt{3}}{8}

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Συνημμένα
champion.png
champion.png (35.56 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1761
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τρίγωνο - πρωταθλητής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 08, 2019 6:37 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 12:59 pm
Τρίγωνο - πρωταθλητής.pngΧορδή ST κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AB=2r ενός ημικυκλίου .

Η κάθετη από το S προς την εφαπτομένη στο T , την τέμνει στο σημείο P .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου PST .

Θέτω BL=x,\hat{PST}=\hat{\omega },

Τότε είναι \hat{STO}=\omega =\hat{TOL}=\hat{NTL}=\hat{PST},\hat{\hat{OTL}}=90^{0},TN\perp OL,
Από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο OTL,TL^{2}=x(x+2r),TL^{2}=LN(x+r),LN=\dfrac{x(x+2r)}{x+r},ON=\dfrac{2r^{2}}{x+r},ST=2ON=\dfrac{2r^{2}}{x+r},TL=\sqrt{x(x+2r)},
Από τα όμοια τρίγωνα

TNL,PST,\dfrac{PT}{NL}=\dfrac{PS}{TN}=\dfrac{ST}{TL},PS=\dfrac{2r^{3}}{(x+r)^{2}}, PT=\dfrac{2r^{2}\sqrt{x(x+2r)}}{(x+r)^{2}},

 (PST)=2r^{5}.\dfrac{\sqrt{x(x+2r)}}{(x+r)^{4}}=f(x), f'(x)=\dfrac{2r^{5}(-3x^{2}-6rx+r^{2})}{(x+r)^{5}\sqrt{x(x+2r)}}

και μέγιστο υπάρχει για x=r.\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}

και (SAT)_{max}=r^{2}\dfrac{3\sqrt{3}}{8},(ST)_{max}=r\sqrt{3}




Γιάννης
Συνημμένα
Τρίγωνο -πρωταθλητής.png
Τρίγωνο -πρωταθλητής.png (95.87 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες