Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7461
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 10:44 am

Γενίκευση αυτής
Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο.png
Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Δύο κύκλοι (O,r), (K,R) με διάκεντρο OK=d τέμνονται στα A, B. Μεταβλητή ευθεία διέρχεται

από το A και τέμνει τους κύκλους στα S, P. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος SP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6142
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 08, 2019 12:23 pm

Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο_1.png
Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο_1.png (39.03 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Έστω N το μέσο της διακέντρου OK . Αφού τα τρίγωνα BSP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AOK είναι όμοια θα είναι όμοια και τα τρίγωνα BMP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ANK.

Έτσι αν οι BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OK τέμνονται στο H το τετράπλευρο AMHN είναι

εγγράψιμο . Άμεση συνέπεια : \boxed{\widehat {HMN} = \widehat {HAN} = \widehat {HBN}} συνεπώς \boxed{x = u} .

Δηλαδή το Mανήκει στον (N,u).

Από το 1ο Θ. διαμέσων στο \vartriangle AOK και με την διάκεντρο OK = d η ακτίνα του πιο πάνω κύκλου είναι :

\boxed{u = x = \frac{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2} - {d^2}} }}{2}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1522
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιαν 08, 2019 2:06 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 10:44 am
Γενίκευση αυτής Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο.png
Δύο κύκλοι (O,r), (K,R) με διάκεντρο OK=d τέμνονται στα A, B. Μεταβλητή ευθεία διέρχεται

από το A και τέμνει τους κύκλους στα S, P. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος SP.

Εργαζόμαστε στην περίπτωση που το \displaystyle M είναι εσωτερικό του κύκλου \displaystyle \left( {O,R} \right)και ομοίως αν είναι εσωτερικό του κύκλου \displaystyle \left( {K,r} \right)

Ισχύουν , \displaystyle SM \cdot MA = {R^2} - O{M^2} και \displaystyle MA \cdot MP = K{M^2} - {r^2}

Τα πρώτα μέλη είναι ίσα,άρα \displaystyle {R^2} - O{M^2} = K{M^2} - {r^2} \Leftrightarrow {R^2} + {r^2} = O{M^2} + K{M^2} = 2M{N^2} + \frac{{{d^2}}}{2} όπου \displaystyle OK = d και \displaystyle N μέσον του \displaystyle OK

Από την τελευταία, \displaystyle \boxed{MN = \frac{{\sqrt {2{R^2} + 2{r^2} - {d^2}} }}{2}}άρα το \displaystyle M κατοικεί στον κύκλο \displaystyle \left( {N,MN} \right) που προφανώς περνά από τα \displaystyle A,B
Γ.Χ.Κ.png
Γ.Χ.Κ.png (20.47 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Γενίκευση χωρίς Καρτέσιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τετ Ιαν 09, 2019 2:58 pm

θεωρώντας γνωστό ότι

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M για τα οποία το αθροισμα των τετραγώνων δύο δοθέντα σημεία A, B
είναι σταθερό και ίσο με k^2 είναι κύκλος με κέντρο το μέσο του AB και ακτίνα ίση με

\displaystyle{ 
r = \sqrt{\frac{k^2}{2}-\frac{AB^2}{4}} 
}

και παρατηρώντας στο πρόβλημά μας από θεώρημα διαμέσων ότι MO^2 + MK^2 είναι σταθερό

με αναγωγή του αρχικού προβλήματος σε αυτό παίρνουμε παρόμοια των προηγουμένων αποτελέσματα.


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες