Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10230
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 06, 2019 10:43 am

Ίσα  γινίμενα σε ρόμβο.png
Ίσα γινίμενα σε ρόμβο.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Η γωνία \hat{A} του ρόμβου ABCD έχει μέτρο 60^0 . Ευθεία διερχόμενη από την κορυφή C

τέμνει τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία P,T αντίστοιχα . Ονομάζω S την τομή

των BT,DP . Δείξτε ότι : BS\cdot BT=DS\cdot DP



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7462
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 06, 2019 1:31 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 06, 2019 10:43 am
Ίσα γινίμενα σε ρόμβο.pngΗ γωνία \hat{A} του ρόμβου ABCD έχει μέτρο 60^0 . Ευθεία διερχόμενη από την κορυφή C

τέμνει τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία P,T αντίστοιχα . Ονομάζω S την τομή

των BT,DP . Δείξτε ότι : BS\cdot BT=DS\cdot DP
Έστω a η πλευρά του ρόμβου.
Ίσα γινόμενα σε ρόμβο.png
Ίσα γινόμενα σε ρόμβο.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Εύκολα τα τρίγωνα PBC, CDT είναι όμοια, άρα: \displaystyle \frac{{BP}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{DT}} \Leftrightarrow \frac{{BP}}{a} = \frac{a}{{DT}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{BD = a} \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DT}}

κι επειδή P\widehat BD=B\widehat DT=120^\circ και τα PBD, BDT θα είναι όμοια, οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους,

όπως και οι πράσινες. Αυτό σημαίνει ότι BD είναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των περίκυκλων των τριγώνων

BPS, DTS. Άρα: \boxed{ BS \cdot BT = B{D^2} = DS \cdot DP}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης